Математика / Вероятность и статистика

Гипергеометрическое распределение: выбор без возвращения

Гипергеометрическая формула даёт вероятность выбрать ровно k объектов нужного типа среди n предметов, взятых без возвращения из N. В исходной совокупности ровно K объектов относятся к нужному типу.

Опубликовано: 18 октября 2026 г.Обновлено: 18 октября 2026 г.

Теория вероятностей и математическая статистика Страницы с задачами и решениями Есть историческая справка Алгебра

Формула

P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}

Схема Тройки из 4 красных и 6 синих

Количество подходящих выборок по четырём строкам даёт 120.

Обозначения

$N$: число всех объектов совокупности, безразмерная величина
$K$: число объектов нужного типа в совокупности, безразмерная величина
$n$: размер выборки без возвращения, безразмерная величина
$k$: число объектов нужного типа в выборке, безразмерная величина
$X$: случайное число выбранных объектов нужного типа, безразмерная величина
$P(X=k)$: искомая вероятность, безразмерная величина

Условия применения

Все подмножества размера n равновероятны. Параметры N,K,n целые, 0≤K≤N и 0≤n≤N. Значение k лежит от max(0,n−(N−K)) до min(n,K). Состав исходной совокупности фиксирован и известен, выбранные предметы не возвращают до конца отбора.

Ограничения

Систематический отбор по удобству, неодинаковые шансы предметов и неизвестный состав партии требуют другой модели. При возвращении предметов появляется биномиальная схема. Когда выборка мала относительно совокупности, биномиальное приближение возможно, но его точность надо оценивать отдельно.

Подробное объяснение

Знаменатель считает все неупорядоченные выборки размера n из N различимых объектов. Поскольку они равновероятны, вероятность события равна доле подходящих выборок среди всех. Порядок извлечения не влияет на итоговый состав, и его можно не учитывать.

В числителе сначала выбирают k объектов нужного типа из K, затем n−k объектов другого типа из N−K. Эти два выбора однозначно задают нужную выборку. Правило произведения даёт произведение двух сочетаний, а не их сумму.

Границы k содержательны: нельзя выбрать больше нужных предметов, чем есть в партии или чем помещается в выборке. Нельзя также потребовать слишком мало нужных предметов, если остальных не хватает для заполнения n мест. Событие вне допустимых границ имеет нулевую вероятность.

Зависимость извлечений особенно заметна при большой выборке. Если уже вынут нужный предмет, доля таких предметов среди оставшихся уменьшается. Именно поэтому множители одной и той же вероятности p, как в биномиальном законе, здесь не описывают точный подсчёт.

Для проверки полезен предел полного отбора: при n=N случайности в составе уже нет и X=K с вероятностью один. Среднее число нужных объектов равно nK/N, однако вероятность отдельного k по-прежнему требует отношения сочетаний. Среднее не обязано быть целым числом.

Как пользоваться формулой

Зафиксируйте размер партии N, число нужных предметов K и размер выборки n до начала извлечений.
Проверьте допустимость k: нужных и остальных предметов должно хватить для указанного состава выборки.
Посчитайте сочетания отдельно для нужного типа, остальных предметов и всех выборок размера n.
Разделите произведение двух благоприятных количеств на общее число выборок и укажите вероятность.

Историческая справка

Гипергеометрический закон относится к классической комбинаторной традиции урновых задач: в конечном наборе предметов выделяют типы и считают состав случайной выборки. Современное название связано с гипергеометрическими функциями, но для вычисления конкретной вероятности достаточно сочетаний. В учебных курсах вероятности XX–XXI веков эта модель служит основным примером зависимости испытаний при извлечении без возвращения. Она также поясняет, почему простое повторение опыта с постоянной вероятностью не всегда допустимо при контроле конечной партии. Здесь не устанавливается единственный автор закона: используемая запись возникает из отношения числа благоприятных подмножеств к числу всех подмножеств. Современный курс Penn State рассматривает её в разделе дискретных случайных величин, рядом с другими моделями счёта.

Историческая линия формулы

Формула представляет классический комбинаторный подсчёт выборок без возвращения. Историческую традицию урновых моделей следует отличать от авторства современного обозначения параметров N,K,n,k; эти буквы и порядок параметров могут различаться в учебниках и программах.

Пример

В коробке десять различимых жетонов: четыре красных и шесть синих. Случайно выбирают три без возвращения. Найдём вероятность ровно двух красных. Имеем N=10, K=4, n=3, k=2. Красную пару можно выбрать C(4,2)=6 способами, один синий — C(6,1)=6 способами. Всего подходящих троек 36, а всех троек C(10,3)=120. Поэтому P(X=2)=36/120=0,3, или 30%. Проверка последовательным способом: для порядка красный–красный–синий вероятность (4/10)·(3/9)·(6/8)=0,1. Синий может занимать любую из трёх позиций, поэтому получается 3·0,1=0,3. Единиц измерения у вероятности нет.

Частая ошибка

Не используйте одну и ту же долю K/N после каждого извлечения без возвращения. Не заменяйте число остальных объектов N−K числом N. Не переставляйте параметры K и n: один относится к партии, второй к выборке. Не прибавляйте сочетания в числителе, поскольку оба выбора должны произойти совместно.

Практика

Задачи с решением

Ни одного нужного

Условие. Из 8 предметов 3 отмечены. Выбирают 2 без возвращения. Найдите вероятность отсутствия отмеченных.

Решение. Нужно выбрать оба из пяти неотмеченных: C(5,2)/C(8,2)=10/28=5/14.

Ответ. 5/14 ≈ 0,357143

Полный отбор

Условие. В наборе 7 предметов, 2 отмечены. Выбраны все 7. Какова вероятность ровно двух отмеченных?

Решение. C(2,2)·C(5,5)/C(7,7)=1·1/1=1. Состав полного набора фиксирован.

Ответ. 1, или 100%

Дополнительные источники

https://online.stat.psu.edu/stat414/Lesson07
https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/4-5-hypergeometric-distribution

Связанные формулы

Математика

Вероятность в биномиальном распределении

$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$

Формула «Вероятность в биномиальном распределении» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Число сочетаний без повторений

$C_n^k=\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Формула описывает прием «неупорядоченный выбор» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

Математика

Математическое ожидание дискретной случайной величины

$M(X)=\sum_i x_i p_i$

Формула «Математическое ожидание дискретной случайной величины» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.