Все формулы РФ

Физика / Механика

Момент инерции прямоугольной пластины через её центр

Для тонкой прямоугольной пластины центральный момент относительно нормали равен M(a²+b²)/12. Обе стороны участвуют в расчёте; для оси дверной петли нужно другое выражение.

Опубликовано: Обновлено:

МеханикаДинамикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справка

Формула

$$I=M(a^2+b^2)/12$$
Схема Тонкая прямоугольная пластина и ось
Тонкая прямоугольная пластина: ось инерцииось направлена к читателюОсь перпендикулярна плоскости пластины

Схема модели; ось проходит через центр перпендикулярно её плоскости.

Обозначения

$I$
момент инерции относительно заданной оси, кг·м²
$M$
масса тела, кг
$a$
сторона прямоугольника, м
$b$
сторона прямоугольника, м

Условия применения

Тело моделируют как тонкую прямоугольную пластину с равномерным распределением массы. Ось проходит через центр перпендикулярно её плоскости. Масса и размеры относятся к одному телу; размеры выражены в метрах, масса — в килограммах.

Ограничения

Формула не учитывает неоднородность материала, заметную массу креплений и отклонение формы от указанной модели. При другой оси величина изменится: для оси, параллельной центральной, можно применить теорему Штейнера, для произвольной ориентации требуется отдельный расчёт.

Подробное объяснение

Центральная нормаль к прямоугольной пластине перпендикулярна обеим её сторонам. На расстояние до неё влияют сразу две координаты точки. Поэтому в формуле складывают квадраты сторон, сохраняя симметрию: перестановка a и b ничего не меняет, хотя сами стороны могут сильно различаться.

В плоскости пластины выберем координаты x и y с началом в центре. Квадрат расстояния до перпендикулярной оси равен x²+y²; интегрирование по прямоугольнику при постоянной поверхностной плотности даёт M(a²+b²)/12. Это не произвольный геометрический коэффициент: он возникает из суммирования элементов массы с весом квадрата их расстояния до оси.

Если b стремится к нулю при той же массе, пластина приближается к стержню длины a, и остаётся Ma²/12. Для квадрата a=b получаем Ma²/6. При сохранённой массе и удвоении только одной стороны умножается на четыре лишь соответствующее слагаемое, а не весь момент.

Вклад каждой стороны входит отдельно и квадратично. Если одна сторона мала, выражение приближается к результату для тонкого стержня; при этом для оси вдоль самой пластины формула другая.

Для дверцы, вращающейся вокруг боковой кромки, центральная нормаль не является рабочей осью. Нужно выбрать центральную ось в плоскости, параллельную кромке, и затем выполнить перенос. Применение суммы a²+b² к дверной петле приводит к физически другой задаче.

Как пользоваться формулой

  1. Убедитесь, что модель подходит: тонкая прямоугольная пластина, распределение массы однородно, а другие детали не включены в массу.
  2. Проверьте положение оси: она проходит через центр перпендикулярно её плоскости; при другой оси сначала выберите соответствующее выражение.
  3. Запишите массу в килограммах и обе стороны пластины в метрах; сантиметры переведите до возведения в квадрат.
  4. Подставьте данные в формулу и выполните квадрат длины до умножения на массу и числовой коэффициент.
  5. Запишите результат в кг·м² и сравните его с изменением массы или размеров, чтобы проверить порядок величины.

Историческая справка

Задача распределения массы относительно оси возникла при изучении составных маятников. В трактате «Horologium oscillatorium», опубликованном в 1673 году, Христиан Гюйгенс исследовал центр колебаний и суммы квадратов расстояний элементов тела от оси. В доступном английском переводе четвёртой части отдельно сформулирована задача суммы квадратов расстояний для заданного тела.

Для прямоугольной пластинки современная запись объединяет два независимых вклада координат: r²=x²+y². Их интегралы дают Ma²/12 и Mb²/12. В учебной механике этот результат связывают с теоремой перпендикулярных осей для плоского тела, отличая её от переноса параллельных осей. Таблицы OpenStax обязательно указывают направление оси, поскольку поворот вокруг стороны или нормали даёт разные выражения. Предельный переход к тонкому стержню объясняет происхождение коэффициента 1/12 без необходимости приписывать отдельную прямоугольную формулу новому автору.

Историческая линия формулы

Гюйгенс в XVII веке исследовал составной маятник и суммы квадратов расстояний, связанные с современной величиной момента инерции. Запись I=M(a^2+b^2)/12 — современный результат для указанной идеализированной геометрии; нет оснований приписывать конкретную табличную форму одному автору только по этой связи.

Пример

Плоская однородная панель массой 3 кг имеет стороны 0,6 и 0,8 м. Ось проходит через геометрический центр и перпендикулярна панели. Сумма квадратов сторон равна 0,6²+0,8²=0,36+0,64=1 м², поэтому I=3·1/12=0,25 кг·м². Если результирующий момент силы равен 0,5 Н·м, угловое ускорение составит 0,5/0,25=2 рад/с². Проверка через две оси в плоскости: моменты равны 3·0,6²/12=0,09 и 3·0,8²/12=0,16 кг·м², их сумма даёт 0,25 кг·м². Такая проверка использует теорему перпендикулярных осей для плоской модели; у массивного прямоугольного бруска следует учитывать третье измерение и ориентацию оси.

Частая ошибка

Не оставляйте в сумме только одну сторону: это другая ось. Для нормали к квадрату получается Ma²/6. Поворот пластины в её плоскости не меняет момент вокруг той же нормали. Кг·м² обозначают момент инерции, а Дж=кг·м²/с² — энергию; их размерности различны.

Практика

Задачи с решением

Квадратная панель

Условие. Найдите I для квадратной пластины массой 6 кг со стороной 0,5 м относительно центральной нормали.

Решение. I=M(a²+a²)/12=6·2·0,25/12=0,25 кг·м².

Ответ. 0,25 кг·м².

Поворот длинной стороной

Условие. Панель из примера повернули в своей плоскости на 90° относительно прежней центральной нормали. Изменится ли I?

Решение. Перестановка a и b оставляет a²+b² прежней: I=0,25 кг·м².

Ответ. Нет, 0,25 кг·м².

Дополнительные источники

  • https://openstax.org/books/physics/pages/a-reference-tables
  • https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/10-5-calculating-moments-of-inertia
  • https://ecommons.cornell.edu/entities/publication/6ea2d54b-ca98-4f2c-8e3a-f6332357d739
  • https://www.17centurymaths.com/contents/huygens/horologiumpart4a.pdf

Связанные формулы

Физика

Теорема Штейнера об оси инерции

$I=I_{cm}+ma^2$

Теорема Штейнера, или теорема о параллельных осях, связывает момент инерции относительно новой оси с моментом относительно параллельной оси через центр масс.