Все формулы РФ

Физика / Механика

Момент инерции сплошного шара относительно диаметра

У однородного сплошного шара момент относительно любого диаметра равен 2MR²/5. Формула учитывает заполненный объём и отличается от момента полой сферической оболочки.

Опубликовано: Обновлено:

МеханикаДинамикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справка

Формула

$$I=2MR^2/5$$
Схема Однородный сплошной шар и ось
Однородный сплошной шар: ось инерцииосьОсь проходит по диаметру шара

Схема модели; ось проходит через центр по диаметру.

Обозначения

$I$
момент инерции относительно заданной оси, кг·м²
$M$
масса тела, кг
$R$
радиус шара, м

Условия применения

Тело моделируют как однородный сплошной шар с равномерным распределением массы. Ось проходит через центр по диаметру. Масса и размеры относятся к одному телу; размеры выражены в метрах, масса — в килограммах.

Ограничения

Формула не учитывает неоднородность материала, заметную массу креплений и отклонение формы от указанной модели. При другой оси величина изменится: для оси, параллельной центральной, можно применить теорему Штейнера, для произвольной ориентации требуется отдельный расчёт.

Подробное объяснение

Сплошной шар заполнен веществом внутри всего объёма. Слои у его полюсов относительно выбранного диаметра имеют малые расстояния до оси, а слои ближе к экватору — большие. Итоговый коэффициент 2/5 учитывает трёхмерное распределение и не совпадает с результатом для тонкой оболочки.

Для интегрирования шар можно разбить на диски, перпендикулярные оси. Диск на расстоянии x от центра имеет радиус √(R²−x²), массу ρπ(R²−x²)dx и момент dI=r²dm/2. После интегрирования и замены ρ через M получается 2MR²/5. Это не произвольный геометрический коэффициент: он возникает из суммирования элементов массы с весом квадрата их расстояния до оси.

При фиксированной массе I пропорционален R². Но для шаров одинаковой плотности M пропорциональна R³, поэтому I растёт как R⁵. Это объясняет, почему увеличение геометрически подобного шара вдвое даёт множитель 32, а не 4. Размерность всё равно остаётся кг·м²: степень радиуса в законе подобия включает изменение массы.

Для тонкой сферической оболочки коэффициент равен 2/3, а не 2/5. Причина в распределении массы: у полого тела больше вещества удалено от оси.

Сферическая симметрия делает все диаметры равноправными осями. Для параллельной касательной оси следует добавить MR²; ориентация диаметра внутри шара значения не имеет. Наличие полости или плотного ядра нарушает однородную модель, даже когда внешняя поверхность остаётся сферой.

Как пользоваться формулой

  1. Убедитесь, что модель подходит: однородный сплошной шар, распределение массы однородно, а другие детали не включены в массу.
  2. Проверьте положение оси: она проходит через центр по диаметру; при другой оси сначала выберите соответствующее выражение.
  3. Запишите массу в килограммах и радиус тела в метрах; сантиметры переведите до возведения в квадрат.
  4. Подставьте данные в формулу и выполните квадрат длины до умножения на массу и числовой коэффициент.
  5. Запишите результат в кг·м² и сравните его с изменением массы или размеров, чтобы проверить порядок величины.

Историческая справка

Задача распределения массы относительно оси возникла при изучении составных маятников. В трактате «Horologium oscillatorium», опубликованном в 1673 году, Христиан Гюйгенс исследовал центр колебаний и суммы квадратов расстояний элементов тела от оси. В доступном английском переводе четвёртой части отдельно сформулирована задача суммы квадратов расстояний для заданного тела.

Шар требует объёмного распределения массы. В отличие от диска, его можно разложить на плоские сечения с переменным радиусом; каждый тонкий диск даёт собственный момент, а затем вклады суммируют по диаметру. Современная таблица OpenStax различает однородный сплошной шар и тонкую сферическую оболочку: коэффициенты 2/5 и 2/3 не взаимозаменяемы. Эта разница вошла в учебные задачи о качении, где распределение массы влияет на ускорение даже при одинаковых внешних размерах. Формула описывает модель, а не универсальное свойство любого круглого мяча.

Историческая линия формулы

Гюйгенс в XVII веке исследовал составной маятник и суммы квадратов расстояний, связанные с современной величиной момента инерции. Запись I=2MR^2/5 — современный результат для указанной идеализированной геометрии; нет оснований приписывать конкретную табличную форму одному автору только по этой связи.

Пример

Однородный сплошной шар массой 2 кг и радиусом 0,5 м вращается вокруг диаметра. Его момент I=(2/5)·2·0,5²=0,2 кг·м². Если шар катится без проскальзывания со скоростью центра 1 м/с, то ω=v/R=2 рад/с. Вращательная энергия равна 0,2·2²/2=0,4 Дж, поступательная — 2·1²/2=1 Дж; всего 1,4 Дж. Отношение вращательной части к поступательной равно 2/5, что независимо следует из I/(MR²). Проверка единиц даёт джоули для обоих слагаемых. Расчёт момента не требует качения, но связь ω=v/R использована только для дополнительного энергетического примера и при проскальзывании неверна.

Частая ошибка

Не применяйте коэффициент 2/5 к полому мячу: масса оболочки распределена иначе. Радиус составляет половину диаметра. При изменении размеров различайте постоянную массу и постоянную плотность: множители для I разные. Для качения связь ω=v/R справедлива лишь без проскальзывания.

Практика

Задачи с решением

Вращение вокруг диаметра

Условие. Для шара из примера угловая скорость 3 рад/с. Найдите вращательную энергию.

Решение. E=Iω²/2=0,2·9/2=0,9 Дж.

Ответ. 0,9 Дж.

Увеличение радиуса

Условие. Радиус однородного шара увеличили вдвое при той же плотности. Во сколько раз вырос I?

Решение. Масса пропорциональна R³, поэтому I пропорционален R⁵. Отношение равно 2⁵=32.

Ответ. В 32 раза.

Дополнительные источники

  • https://openstax.org/books/physics/pages/a-reference-tables
  • https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/10-5-calculating-moments-of-inertia
  • https://ecommons.cornell.edu/entities/publication/6ea2d54b-ca98-4f2c-8e3a-f6332357d739
  • https://www.17centurymaths.com/contents/huygens/horologiumpart4a.pdf

Связанные формулы

Физика

Теорема Штейнера об оси инерции

$I=I_{cm}+ma^2$

Теорема Штейнера, или теорема о параллельных осях, связывает момент инерции относительно новой оси с моментом относительно параллельной оси через центр масс.