Инженерия / Гидравлика

Уравнение Кольбрука для коэффициента Дарси

Уравнение Кольбрука связывает коэффициент трения Дарси в турбулентной трубе с числом Рейнольдса и относительной шероховатостью. Коэффициент находят численно и подставляют в формулу потерь напора.

Опубликовано: 12 ноября 2026 г.Обновлено: 12 ноября 2026 г.

Формула

\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3.7D}+\frac{2.51}{\mathrm{Re}\sqrt{f_D}}\right)

Схема Коэффициент трения и шероховатость

Кривые показывают два фиксированных числа Рейнольдса. Отметка соответствует расчёту для Re=100 000 и ε/D=0,001.

Обозначения

$fᴅ$: коэффициент трения Дарси, —
$ε$: эквивалентная шероховатость стенки, м
$D$: внутренний диаметр трубы, м
$Re$: число Рейнольдса по диаметру и средней скорости, —

Условия применения

Корреляция рассчитана для установившегося развитого турбулентного течения в полной круглой трубе. Практический ориентир для начала области применения — Re выше 4000. В относительной шероховатости ε/D обе длины измеряются в одинаковых единицах.

Ограничения

В ламинарном режиме круглой трубы используют fᴅ=64/Re, а в переходной области сопротивление чувствительно к возмущениям. Ошибка в шероховатости старой трубы может влиять на результат сильнее, чем точность итераций.

Подробное объяснение

Коэффициент fᴅ масштабирует потери на трение в выражении fᴅ(L/D)v²/(2g). В уравнении Кольбрука эта величина стоит с обеих сторон, поэтому непосредственная подстановка Re и ε/D оставляет одно неизвестное, для которого решают нелинейное уравнение.

Замена x=1/√fᴅ делает вычисление прозрачным. Берут стартовое x, вычисляют правую часть −2log₁₀(ε/(3,7D)+2,51x/Re) и используют полученное число как следующий x. Когда значения перестают заметно меняться, проверяют остаток исходного уравнения.

В гладкой трубе первое слагаемое под логарифмом исчезает. Для шероховатой трубы с ростом Re второе слагаемое может стать намного меньше первого. Тогда коэффициент приближается к постоянному значению, которое определяется относительной шероховатостью.

При фиксированных Re и D увеличение ε повышает расчётный коэффициент трения. Эта зависимость полезна для сравнения состояний трубопровода, например расчёта новой линии и линии с отложениями, если известна оценка эффективной шероховатости.

Как пользоваться формулой

Рассчитайте число Рейнольдса по средней скорости и внутреннему диаметру, затем определите режим течения.
Разделите шероховатость на диаметр, предварительно приведя обе длины к одним и тем же единицам.
Возьмите начальное x около 7 и подставляйте его в правую часть, пока изменения x не станут малы.
Вычислите fᴅ=1/x² и проверьте равенство сторон при подстановке с сохранёнными значащими цифрами.

Историческая справка

Кольбрук в статье 1939 года рассмотрел турбулентное течение в трубах между гидравлически гладкой и полностью шероховатой областями. Для практического расчёта нужно было описать режим, в котором вязкостный вклад и действие шероховатости стенки ещё сопоставимы.

В 1944 году Льюис Муди опубликовал работу Friction Factors for Pipe Flow. Графическое представление коэффициента в зависимости от Re и относительной шероховатости позволяло получать инженерную оценку без решения неявного уравнения вручную. В современных расчётах ту же зависимость решают численно или применяют явно оговорённую аппроксимацию, например в программном расчёте водопроводных сетей.

Историческая линия формулы

Неявную корреляцию для перехода между гладким и шероховатым турбулентным течением связывают с работой Кольбрука. Диаграмма Муди показывает зависимость коэффициента Дарси от режима и шероховатости графически и охватывает также ламинарную область.

Пример

У круглой трубы внутренний диаметр D=0,10 м, эквивалентная шероховатость ε=0,10 мм, число Рейнольдса Re=100 000. Требуется найти коэффициент Дарси. Переводим 0,10 мм в 0,00010 м. Получаем ε/D=0,001. Решаем x=−2log₁₀(0,001/3,7+2,51x/100 000). При x=7 правая часть даёт около 6,70. Следующие подстановки приводят к x≈6,7154. Коэффициент fᴅ=1/6,7154²≈0,02217. Проверка: при x=6,7154 под логарифмом получается около 0,00043883, а правая часть снова близка к 6,7154. Аргумент логарифма и ответ безразмерны. При ε=0 для того же Re коэффициент был бы меньше.

Частая ошибка

Берут натуральный логарифм вместо десятичного. Подставляют шероховатость в миллиметрах при диаметре в метрах. Используют наружный диаметр по маркировке трубы. Переносят результат в формулу с коэффициентом Фаннинга без преобразования: коэффициент Дарси в четыре раза больше.

Практика

Задачи с решением

Гидравлически гладкая труба

Условие. Пусть Re=100 000, а ε/D=0. Найдите fᴅ численной подстановкой.

Решение. При ε=0 остаётся x=−2log₁₀(2,51x/100 000). Итерации от x=7 сходятся к 7,45568. Обратный квадрат даёт fᴅ=0,0179898.

Ответ. fᴅ≈0,01799.

Шероховатость 0,5 процента

Условие. Для Re=200 000 и ε/D=0,005 определите коэффициент Дарси.

Решение. Под логарифмом складываются 0,005/3,7 и 2,51x/200 000. Решение x≈5,69371 даёт fᴅ≈1/5,69371²=0,03085.

Ответ. fᴅ≈0,03085.

Дополнительные источники

https://doi.org/10.1680/ijoti.1939.13150
https://ocw.camins.upc.edu/materials_guia/250336/2020/MoodyLFpaper1944.pdf
https://datatool.pumps.org/fluid-flow-iii/general

Связанные формулы

Инженерия

Эквивалентная длина трубы для местной потери

$L_{\mathrm{eq}}=\frac{K D}{f_D}$

Эквивалентная длина показывает, какой прямой участок той же трубы дал бы такую же потерю напора, как фитинг. Она зависит от коэффициента местной потери, диаметра и коэффициента Дарси.

Инженерия

Потеря напора при расширении по Борда — Карно

$h_{\mathrm{exp}}=\frac{(v_1-v_2)^2}{2g}=\left(1-\frac{A_1}{A_2}\right)^2\frac{v_1^2}{2g}$

Формула Борда — Карно оценивает местную потерю полного напора при резком расширении канала. Для расчёта достаточно разности средних скоростей до и после ступени.

Инженерия

Деление расхода между параллельными трубами

$\begin{aligned}Q_1&=Q_{\Sigma}\frac{\sqrt{R_2}}{\sqrt{R_1}+\sqrt{R_2}},\\ Q_2&=Q_{\Sigma}\frac{\sqrt{R_1}}{\sqrt{R_1}+\sqrt{R_2}},\\ \Delta H&=R_1Q_1^2=R_2Q_2^2.\end{aligned}$

Когда потери в двух параллельных ветвях квадратичны по расходу, деление потока задают корни их сопротивлений. Обе ветви имеют одну и ту же разность напоров между узлами.

Инженерия

Потери напора по Дарси — Вейсбаху

$h_f = f\frac{L}{D_h}\frac{v^2}{2g}$

Потери напора по Дарси — Вейсбаху: формула h_f = f\frac{L}{D_h}\frac{v^2}{2g} помогает оценить расход, скорость, напор или потери в потоке. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Инженерия

Расход в трубе по скорости потока

$Q=vA$

Расход в трубе по скорости потока: формула Q=vA помогает величины Q, v, A заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.