Инженерия / Гидравлика

Потеря напора при расширении по Борда — Карно

Формула Борда — Карно оценивает местную потерю полного напора при резком расширении канала. Для расчёта достаточно разности средних скоростей до и после ступени.

Опубликовано: 12 ноября 2026 г.Обновлено: 12 ноября 2026 г.

Формула

h_{\mathrm{exp}}=\frac{(v_1-v_2)^2}{2g}=\left(1-\frac{A_1}{A_2}\right)^2\frac{v_1^2}{2g}

Схема Коэффициент потери при резком расширении

По оси x отложено A₁/A₂. Точка при 0,25 соответствует удвоению диаметра из примера.

Обозначения

$hₑₓₚ$: местная потеря полного напора, м
v₁, v₂: средние скорости до и после расширения, м/с
A₁, A₂: площади сечений до и после ступени, м²
$g$: ускорение свободного падения, м/с²

Условия применения

Рассматривается стационарный несжимаемый поток с турбулентным перемешиванием за резкой ступенью. Применяется одномерная модель со средними скоростями, приблизительно равномерным давлением у ступени и сечением после восстановления потока.

Ограничения

Для плавного диффузора, сужения или сложной геометрии коэффициент потерь будет другим. При заметно неравномерных профилях скорости, близости другой арматуры или сильном влиянии вязкости простая модель требует уточнения.

Подробное объяснение

При расширении прежний расход проходит через большее сечение, поэтому средняя скорость уменьшается. Из-за резкого изменения стенки поток отделяется, а за ступенью появляются области обратного течения и перемешивания. Часть механической энергии рассеивается.

Модель сопоставляет баланс количества движения с балансом механической энергии. Для горизонтальной трубы при приближённом постоянстве давления у ступени баланс импульса даёт p₂−p₁≈ρv₂(v₁−v₂). После подстановки в баланс энергии остаётся квадрат разности скоростей.

Из неразрывности v₂=v₁A₁/A₂. При равных площадях местная потеря обращается в ноль. При очень большой площади второй трубы v₂ становится малой, а потеря приближается к скоростному напору узкой трубы.

Полный напор убывает, хотя статическое давление в горизонтальной трубе может вырасти при торможении потока. Чтобы найти давление, в энергетическом балансе учитывают и уменьшение скоростного напора, и положительную местную потерю.

Как пользоваться формулой

Выберите сечение до ступени и сечение после зоны перемешивания, определите площади обоих сечений.
Найдите средние скорости из одного и того же объёмного расхода либо пересчитайте v₂ через отношение площадей.
Вычтите меньшую скорость из большей, возведите разность в квадрат и разделите на удвоенное g.
При вычислении статического давления учтите отдельно потерю, разность скоростных напоров и высоты сечений.

Историческая справка

Жан-Шарль де Борда в мемуаре 1766 года рассматривал потерю механической энергии при резком расширении сечения. В терминологии того времени речь шла о потере живой силы. Исторический разбор Оливье Дарриголя связывает этот пример с изучением того, как резко меняющаяся геометрия нарушает картину плавного движения идеальной жидкости.

В учебной гидравлике формулу называют уравнением Борда — Карно и получают из законов сохранения импульса и энергии. Современная запись в метрах напора удобна тем, что позволяет прибавить эту потерю к остальным местным и распределённым потерям в энергетическом балансе трубы. Для сравнения разных расширений ту же потерю делят на скоростной напор перед ступенью.

Историческая линия формулы

Атрибуция Борда относится к анализу потерь при резком расширении в мемуаре 1766 года. Устоявшееся название «Борда — Карно» используют учебники гидравлики. Современная запись учитывает инженерные предпосылки о средних скоростях и давлении у ступени.

Пример

Горизонтальная труба резко расширяется с диаметра 50 до 100 мм. До ступени вода течёт со средней скоростью 3,0 м/с. Найдём местную потерю при g=9,81 м/с². Площадь широкой трубы в четыре раза больше. Поэтому v₂=3,0/4=0,75 м/с. Подстановка даёт hₑₓₚ=(3,0−0,75)²/(2·9,81)=5,0625/19,62≈0,258 м. Для проверки рассмотрим баланс. Разность скоростных напоров равна (9−0,5625)/19,62≈0,430 м. После вычитания потери остаётся около 0,172 м подъёма статического напора. Потеря положительна, а оба результата измеряются в метрах жидкости.

Частая ошибка

Используют отношение диаметров вместо отношения площадей. Возводят в квадрат каждую скорость отдельно и вычитают квадраты. Считают падение полного напора падением статического давления. В коэффициенте относительно v₁ используют скоростной напор v₂ без перенормировки.

Практика

Задачи с решением

Расширение с удвоением площади

Условие. Площадь после ступени вдвое больше, v₁=4 м/с. Найдите местную потерю при g=9,81 м/с².

Решение. Неразрывность даёт v₂=2 м/с. Вычисляем (4−2)²/19,62≈0,20387 м.

Ответ. Около 0,204 м.

Восстановить отношение площадей

Условие. По скоростному напору узкой трубы коэффициент K=0,36. Найдите A₂/A₁.

Решение. Для расширения A₁/A₂ меньше единицы. Поэтому 1−A₁/A₂=√0,36=0,6. Получаем A₁/A₂=0,4 и обратное отношение 2,5.

Ответ. A₂/A₁=2,5.

Дополнительные источники

https://archive.nptel.ac.in/content/storage2/courses/105103095/module04/lect_23/slides/slide4.htm
https://www.oca.eu/etc7/EE250/texts/ee250-published.pdf
https://schneider.cheme.cmu.edu/Files/Perry%27s%20Chemical%20Engineers%27%20Handbook%207th%20Edition/6.%20Fluid%20and%20Particle%20Dynamics.pdf

Связанные формулы

Инженерия

Уравнение Кольбрука для коэффициента Дарси

$\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3.7D}+\frac{2.51}{\mathrm{Re}\sqrt{f_D}}\right)$

Уравнение Кольбрука связывает коэффициент трения Дарси в турбулентной трубе с числом Рейнольдса и относительной шероховатостью. Коэффициент находят численно и подставляют в формулу потерь напора.

Инженерия

Эквивалентная длина трубы для местной потери

$L_{\mathrm{eq}}=\frac{K D}{f_D}$

Эквивалентная длина показывает, какой прямой участок той же трубы дал бы такую же потерю напора, как фитинг. Она зависит от коэффициента местной потери, диаметра и коэффициента Дарси.

Инженерия

Деление расхода между параллельными трубами

$\begin{aligned}Q_1&=Q_{\Sigma}\frac{\sqrt{R_2}}{\sqrt{R_1}+\sqrt{R_2}},\\ Q_2&=Q_{\Sigma}\frac{\sqrt{R_1}}{\sqrt{R_1}+\sqrt{R_2}},\\ \Delta H&=R_1Q_1^2=R_2Q_2^2.\end{aligned}$

Когда потери в двух параллельных ветвях квадратичны по расходу, деление потока задают корни их сопротивлений. Обе ветви имеют одну и ту же разность напоров между узлами.

Инженерия

Потери напора по Дарси — Вейсбаху

$h_f = f\frac{L}{D_h}\frac{v^2}{2g}$

Потери напора по Дарси — Вейсбаху: формула h_f = f\frac{L}{D_h}\frac{v^2}{2g} помогает оценить расход, скорость, напор или потери в потоке. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Инженерия

Расход в трубе по скорости потока

$Q=vA$

Расход в трубе по скорости потока: формула Q=vA помогает величины Q, v, A заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.