Математика / Пределы, ряды

Производная по направлению через градиент

Производная по направлению равна скалярному произведению градиента на единичный вектор направления. Она измеряет мгновенную скорость изменения функции вдоль выбранного луча.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=\nabla f(\mathbf a)\cdot \mathbf u,\quad \|\mathbf u\|=1

Обозначения

$D_{\mathbf u}f(\mathbf a)$: производная функции f в точке a по направлению u, единицы f на единицы длины
$\nabla f(\mathbf a)$: градиент функции в точке a, единицы f на единицы координат
$\mathbf u$: единичный вектор направления, безразмерный
$\mathbf a$: точка, в которой вычисляется скорость изменения, единицы координат

Условия применения

Функция дифференцируема в точке a.
Вектор направления u нормирован: ||u||=1.
Градиент вычислен в той же точке, где берется производная по направлению.
Скалярное произведение использует ту же евклидову метрику, в которой нормируется u.

Ограничения

Если u не единичный, результат масштабируется длиной u и уже не является скоростью на единицу пути.
Существование частных производных само по себе не гарантирует дифференцируемость функции.
В криволинейных координатах формула требует учета метрики и масштабных коэффициентов.
Для негладких функций направление может иметь одностороннюю производную, но градиентная формула неприменима.

Подробное объяснение

Производная по направлению показывает, как быстро меняется функция, если из точки a двигаться не вдоль координатной оси, а по выбранному направлению. Градиент собирает частные производные в один вектор, а скалярное произведение выбирает из него компоненту вдоль направления u.

Формула получается из дифференцируемости: при малом перемещении h функция меняется примерно на ∇f(a)·h. Если двигаться по прямой h=t u, то приращение равно примерно t∇f(a)·u. Деление на t и переход к пределу дают производную по направлению.

Нормировка направления принципиальна. Если взять v=(3,4) вместо u=(3/5,4/5), скалярное произведение станет в пять раз больше, потому что движение за единицу параметра проходит путь длины 5. Производная по направлению обычно измеряется на единицу длины пути.

Геометрически градиент указывает направление наибольшего роста функции, а его длина равна максимальной производной по направлению. В направлении, перпендикулярном градиенту, первый дифференциал равен нулю, поэтому движение идет вдоль касательной к линии уровня.

Формула надежна только при дифференцируемости. У функций с изломами направленные производные могут существовать по многим направлениям, но не складываться в линейный дифференциал, и тогда выражение через один градиент теряет смысл.

Как пользоваться формулой

Вычислите все частные производные функции и соберите градиент.
Подставьте координаты точки a именно в градиент, а не в исходную функцию.
Преобразуйте заданное направление в единичный вектор u.
Найдите скалярное произведение ∇f(a)·u.
Проверьте знак результата: положительный означает рост, отрицательный — убывание.
Если нужен максимальный рост, используйте длину градиента и направление самого градиента.

Историческая справка

Идея производной по направлению развивалась вместе с анализом функций нескольких переменных и дифференциальной геометрией в XVIII-XIX веках. Когда функции стали рассматривать как поля на плоскости и в пространстве, производных по координатным осям оказалось недостаточно: нужно было измерять изменение вдоль произвольного направления.

Понятие градиента связано с развитием векторного анализа в XIX веке. В работах Гамильтона, Максвелла, Гиббса и Хевисайда векторные операции получили современный вид, удобный для физики и геометрии. Скалярное произведение градиента с направлением стало естественной записью линейной части приращения.

В современных курсах формула выводится из полного дифференциала. Она объединяет локальную линейную аппроксимацию, линии уровня, экстремальные направления и практические задачи оптимизации, где важно знать не только частные изменения по осям, но и движение в произвольной стороне.

Историческая линия формулы

Единственного автора у формулы нет. Она является результатом развития дифференциального исчисления нескольких переменных и векторного анализа XIX века. Исторически корректно связывать современную запись с векторной традицией Гиббса-Хевисайда и с более ранней теорией полного дифференциала. Поэтому в источниках обычно указывают учебную или научную традицию, а не единственного автора короткой записи.

Пример

Задача. Найти скорость изменения f(x,y)=x e^y+y^2 в точке a=(2,0) по направлению к точке B=(5,4). Дано: направление v=B-a=(3,4), его длина ||v||=5, значит единичный вектор u=(3/5,4/5). Градиент функции: f_x=e^y, f_y=xe^y+2y. В точке (2,0) получаем ∇f=(1,2). Подставляем в формулу: D_u f=∇f·u=1·3/5+2·4/5=11/5. Ответ: производная по направлению равна 11/5. Проверка: направление нормировано, поэтому результат измеряет изменение f на единицу длины, а не на единицу параметра отрезка. Если бы использовали v=(3,4), получилось бы 11, что соответствует пяти единицам пути. Дополнительная проверка: сравниваем результат с исходной записью при допустимых значениях переменных или на граничном случае из условия. Если обе записи дают одно и то же значение и не нарушают ограничения, преобразование выполнено согласованно.

Частая ошибка

Наиболее частая ошибка — забыть нормировать вектор направления. Вторая — вычислить градиент как набор частных производных, но не подставить точку до скалярного произведения. Иногда путают направление движения с координатами конечной точки: нужно брать разность B-a. Еще одна ошибка — применять формулу к функции, у которой в точке есть частные производные, но нет дифференцируемости; в таких примерах ответ через градиент может быть ложным.

Практика

Задачи с решением

Направление в плоскости

Условие. f(x,y)=x^2+3y, точка (1,2), направление v=(3,4). Найти D_u f.

Решение. u=(3/5,4/5), grad f=(2x,3), grad f(1,2)=(2,3). D_u f=2·3/5+3·4/5=18/5.

Ответ. 18/5

Максимальный рост

Условие. grad f(a)=(6,8). Найти максимальную производную по направлению.

Решение. Максимум скалярного произведения grad f·u при ||u||=1 равен ||grad f||=10.

Ответ. 10

Дополнительные источники

Apostol, Calculus, Vol. 2, directional derivatives and gradient
Thomas' Calculus, multivariable calculus, directional derivatives
Zorich, Mathematical Analysis II, differential calculus of several variables
Fichtenholz, Differential and Integral Calculus, Vol. 1, functions of several variables

Связанные формулы

Математика

Градиент функции двух переменных

$\nabla f(a,b)=(f_x(a,b), f_y(a,b))$

Градиент собирает частные производные в вектор и показывает направление наибольшего локального роста функции двух переменных.

Математика

Направленная производная через градиент

$D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2,\quad \|\mathbf u\|=1$

Направленная производная измеряет скорость изменения функции в выбранном направлении и выражается через скалярное произведение градиента на единичный вектор.

Математика

Полный дифференциал функции двух переменных

$df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy$

Полный дифференциал функции двух переменных показывает, как по формуле df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy получить проверяемый результат из исходных данных. В материале уточнены обозначения, условия применения и типовые ошибки при подстановке.

Математика

Частные производные функции двух переменных

$f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},\quad f_y(a,b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}$

Частная производная показывает скорость изменения функции по одной переменной при фиксированной второй переменной, то есть локальный наклон сечения поверхности.

Математика

Касательная плоскость к графику z=f(x,y)

$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$

Касательная плоскость к графику z=f(x,y) дает линейное приближение поверхности около точки через значения частных производных.