Все формулы РФ

Физика / Молекулярная физика

Работа газа в замкнутом цикле

Работа газа за цикл равна интегралу p dV по замкнутому пути на p–V диаграмме и определяется ориентированной площадью контура.

Опубликовано: Обновлено:

Молекулярная физикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаФормулы высшей физики

Формула

$$A_{cycle}=\oint p\,dV$$
График A, Дж и ΔV, л
A, Дж в зависимости от ΔV, лA, Дж002701,255402,58103,751 0805ΔV, л

Прямоугольный цикл по часовой стрелке, перепад давления 200 кПа. Работа равна площади контура.

Обозначения

$A_cycle$
работа за полный цикл, Дж
$p$
давление на пути, Па
$V$
объём газа, м³

Условия применения

Газ возвращается в исходное состояние, путь квазистатический, а давление известно на каждом участке. Направление обхода контура задаёт знак работы.

Ограничения

Работа не равна просто площади без учёта ориентации. При необратимости p внутри системы может быть не определено; трение и теплообмен не меняют геометрическую формулу, но требуют другой модели пути.

Подробное объяснение

В цикле конечные p,V,T возвращаются к исходным значениям, поэтому ΔU = 0 для идеального газа. Первый закон даёт Q_cycle = A_cycle: суммарная теплота за цикл равна работе. На диаграмме p–V интеграл по замкнутой кривой — ориентированная площадь.

При обходе по часовой стрелке газ обычно расширяется при больших давлениях и сжимается при меньших, поэтому работа положительна. При обходе против часовой стрелки работа отрицательна: внешние силы затрачивают энергию на цикл.

Для прямоугольного цикла площадь равна (p_high−p_low)(V_high−V_low). Для криволинейного пути нужно сложить интегралы участков; нельзя брать площадь, ограниченную только крайними координатами, если границы не прямые.

Циклическая работа отличается от работы отдельного участка. Каждый этап может иметь положительную или отрицательную работу, но их сумма определяет результат двигателя или холодильной машины.

Проверяйте ориентацию стрелок, единицы Па · м³ = Дж и возвращение в исходное состояние. Если начальная и конечная точки не совпадают, это уже процесс, а не полный цикл.

Как пользоваться формулой

  1. Опишите процесс и укажите постоянные величины.
  2. Переведите все данные в СИ и температуру в К.
  3. Выразите неизвестную величину символически.
  4. Подставьте реальные числа и сохраните промежуточный результат.
  5. Проверьте знак, размерность и физический предел.

Историческая справка

История циклической работы развивалась вместе с тепловыми машинами. Анализ Карно показал, что полезный результат определяется не одним состоянием, а замкнутым путём между резервуарами. Развитие p–V диаграмм дало наглядное геометрическое представление работы как площади. Формулировка первого закона объяснила, почему за полный цикл внутренняя энергия возвращается к исходной и суммарная теплота равна работе. В дальнейшем циклы Отто, Дизеля, Стирлинга и Ренкина стали сравнивать именно по участкам и ориентированной площади. Современная запись интеграла сохраняет эту идею для криволинейных путей и одновременно предупреждает об ошибке: площадь без направления не содержит знака работы.

Историческая линия формулы

Понятие работы цикла — коллективный результат развития термодинамики, диаграмм состояния и первого закона. Карно дал образец обратимого цикла, а интегральная запись ∮p dV обобщает работу любого квазистатического замкнутого пути.

Пример

Прямоугольный цикл имеет p_low = 100 кПа, p_high = 300 кПа, V_low = 2,00 л, V_high = 5,00 л. При обходе по часовой стрелке работа равна площади: A = (300000−100000) · (0,005−0,002) = 200000 · 0,003 = 600 Дж. Ответ: A_cycle = 600 Дж. При обратной ориентации получится −600 Дж. Так как ΔU_cycle = 0, суммарная теплота за цикл также равна 600 Дж для часового обхода. Проверка единиц: Па · м³ = Дж. На двух вертикальных участках объём неизменен, поэтому их работа нулевая. На верхней горизонтали газ отдаёт 900 Дж работы, а нижняя горизонталь при сжатии даёт −300 Дж; сумма 600 Дж совпадает с площадью. Это вычисление не определяет отдельно всю полученную теплоту и КПД.

Частая ошибка

Замкнутый цикл возвращает внутреннюю энергию к исходной, но работа обычно не равна нулю. Площадь нужно брать со знаком обхода: по часовой стрелке работа газа положительна. На вертикальном участке p–V диаграммы работа нулевая. Для непрямоугольного контура нельзя умножать полный диапазон давления на полный диапазон объёма.

Практика

Задачи с решением

Малый цикл

Условие. Δp = 50 кПа, ΔV = 4,00 л, обход по часовой стрелке.

Решение. A = 50000 · 0,004 = 200 Дж.

Ответ. A = 200 Дж

Обратная ориентация

Условие. Тот же контур, но против часовой стрелки.

Решение. Знак меняется: A = −200 Дж.

Ответ. A = −200 Дж

Дополнительные источники

  • https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/3-2-work-heat-and-internal-energy
  • https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/4-2-heat-engines

Связанные формулы

Физика

Работа газа в изобарном процессе

$A=p(V_2-V_1)$

При постоянном давлении работа газа равна p(V₂ − V₁). На диаграмме p–V это площадь прямоугольника; при расширении работа газа положительна, при сжатии отрицательна.

Физика

КПД цикла Карно

$\eta_C=1-\frac{T_2}{T_1}$

Максимальный КПД обратимого двигателя между двумя постоянными температурами равен 1 − Tc/Th. Температуры берут в кельвинах; реальные потери уменьшают достижимый результат.

Физика

Первый закон термодинамики

$Q=\Delta U + A$

Первый закон термодинамики выражает сохранение энергии: полученное системой тепло идет на изменение внутренней энергии и работу, совершенную системой.