Все формулы РФ

Физика / Молекулярная физика

Распределение Больцмана в потенциальном поле

Распределение Больцмана показывает, как концентрация частиц в равновесии зависит от потенциальной энергии состояния и температуры.

Опубликовано: Обновлено:

Формулы по физике за 10 классФормулы по физике для ЕГЭМолекулярная физикаСтатистическая физикаКалькуляторЕсть историческая справкаТермодинамика

Формула

$$n=n_0 e^{-U/(kT)}$$
График Экспоненциальное убывание
nU

Температура задает масштаб, на котором энергия заметно подавляет вероятность.

Обозначения

$n$
концентрация частиц в состоянии или точке с энергией U, 1/м^3 или относительная величина
$n_0$
нормировочная концентрация или концентрация при U = 0, та же, что у n
$U$
потенциальная энергия частицы, Дж
$k$
постоянная Больцмана, Дж/К
$T$
абсолютная температура, К

Условия применения

  • Система находится в тепловом равновесии при температуре T.
  • Частицы подчиняются классической статистике Больцмана или рассматривается классический предел.
  • Энергия U задана относительно выбранного нулевого уровня.

Ограничения

  • При квантовом вырождении нужны распределения Ферми - Дирака или Бозе - Эйнштейна.
  • Для неравновесных потоков и систем с внешней накачкой распределение может не выполняться.
  • Нормировка n0 зависит от геометрии, общего числа частиц и выбранного нуля энергии.

Подробное объяснение

Распределение Больцмана выражает фундаментальный статистический принцип: при тепловом равновесии состояния с большей энергией менее вероятны, но не запрещены. Относительная вероятность имеет экспоненциальный множитель exp(-U/kT). Температура задает масштаб энергии тепловых флуктуаций. Если U намного больше kT, состояние встречается редко. Если U сравнимо с kT, оно может быть существенно заселено.

В пространственном поле сил формула превращается в распределение концентрации. В гравитационном поле она дает барометрическую формулу, в электрическом поле - распределение заряженных частиц в простых равновесных моделях. В химии и физике твердого тела похожий множитель описывает заселенность энергетических уровней.

Важно, что абсолютное значение n требует нормировки. Часто физический смысл имеет отношение концентраций в двух точках: n2/n1 = exp(-(U2-U1)/kT). В таком виде выбор нуля энергии исчезает, и формула становится особенно удобной.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте условие теплового равновесия.
  2. Запишите потенциальную энергию U для рассматриваемой точки или состояния.
  3. Переведите температуру в кельвины и используйте k в Дж/К.
  4. Подставьте U/(kT) в экспоненту с минусом.
  5. Для сравнения двух состояний используйте отношение концентраций, чтобы убрать неизвестную нормировку.

Историческая справка

Людвиг Больцман развил статистическую интерпретацию термодинамики во второй половине XIX века, связав вероятность микросостояний с макроскопическими величинами. Больцмановский экспоненциальный множитель стал одним из главных результатов статистической физики: он показывает, как температура управляет вероятностью энергетических состояний. Идея оказалась универсальной, от газов в поле тяжести до химических равновесий и физики твердого тела. Позднее квантовая статистика уточнила распределения для частиц с квантовыми свойствами, но классический предел Больцмана остался базовым языком теплового равновесия. Он используется всякий раз, когда энергии сравнивают с тепловым масштабом kT и оценивают вероятность редких, но возможных состояний.

Историческая линия формулы

Распределение названо в честь Людвига Больцмана. Оно выражает классический равновесный закон вероятности энергетических состояний и лежит в основе статистической интерпретации температуры и энтропии. и тепловых флуктуаций в равновесных системах.

Пример

В поле тяжести потенциальная энергия молекулы на высоте h равна U = mgh. Тогда n(h) = n0 exp(-mgh/(kT)). Это означает, что с высотой концентрация молекул уменьшается экспоненциально. При большей температуре знаменатель kT больше, и концентрация убывает медленнее: тепловое движение легче забрасывает молекулы на большую высоту. При большей массе молекулы убывание быстрее. Именно поэтому тяжелые компоненты атмосферы имеют меньшую характерную высоту при той же температуре, если не учитывать перемешивание и сложную метеорологию.

Частая ошибка

Частая ошибка - забывать, что в экспоненте должна стоять безразмерная величина U/(kT). Вторая ошибка - использовать температуру в градусах Цельсия. Еще одна ошибка - воспринимать n0 как универсальную постоянную; это нормировка, зависящая от задачи. Также нельзя применять распределение Больцмана к системе, которая явно не находится в тепловом равновесии.

Практика

Задачи с решением

Отношение заселенностей

Условие. Энергия второго состояния выше на Delta U = kT. Найдите n2/n1.

Решение. n2/n1 = exp(-Delta U/kT) = exp(-1) ≈ 0,37.

Ответ. примерно 0,37

Высокая температура

Условие. Как влияет увеличение T на заселенность состояния с фиксированной положительной U?

Решение. При росте T отношение U/(kT) уменьшается, экспонента становится больше, значит высокоэнергетическое состояние заселяется сильнее.

Ответ. концентрация в этом состоянии увеличивается

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax University Physics, раздел Boltzmann Distribution
  • MIT OpenCourseWare Statistical Physics, canonical distribution

Связанные формулы

Физика

H-теорема Больцмана

$H=\int f\ln f\,d^3v,\qquad \frac{dH}{dt}\le 0$

H-теорема утверждает, что для разреженного газа при молекулярном хаосе функция H не возрастает и система стремится к максвелловскому распределению.

Физика

Распределение Максвелла по скоростям

$f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2 e^{-mv^2/(2kT)}$

Распределение Максвелла задает долю молекул идеального газа, имеющих скорости около заданного значения v при температуре T.

Физика

Условие теплового равновесия

$T_1=T_2$

Тепловое равновесие двух тел означает равенство их температур и отсутствие направленного теплообмена между ними. Это условие лежит в основе термометрии.