Математика / Алгебра

Работа через производительность и время

В задачах на работу объем выполненной работы равен производительности, умноженной на время. Формула похожа на связь пути, скорости и времени.

Опубликовано: 26 мая 2026 г.Обновлено: 26 мая 2026 г.

Формула

A=pt,\quad p=\frac{A}{t},\quad t=\frac{A}{p}

Обозначения

$A$: объем выполненной работы, детали, страницы, часть работы
$p$: производительность за единицу времени, деталей/ч, страниц/мин
$t$: время работы, ч, мин

Условия применения

Производительность считается постоянной.
Единицы времени в p и t согласованы.
Работа измеряется одной величиной или одной долей задания.

Ограничения

Формула не учитывает перерывы и изменение скорости работы.
При совместной работе складывают производительности, а не времена.
Если работа неоднородна, нужно определить единицу работы.

Подробное объяснение

Производительность показывает, какая часть работы выполняется за одну единицу времени. Если каждый час выполняется p единиц работы, то за t часов будет выполнено t таких порций, то есть A = pt.

Формула устроена так же, как путь, скорость и время: работа играет роль расстояния, производительность - роль скорости. Поэтому обратные формулы получают делением: p = A/t и t = A/p.

При увеличении производительности в два раза за то же время выполняется в два раза больше работы. Если объем работы фиксирован, большая производительность уменьшает требуемое время. В совместных задачах складываются именно доли работы за единицу времени.

В школьных задачах работу иногда принимают за 1, если важен весь заказ. Тогда производительность может быть дробью: 1/5 работы в час означает, что один исполнитель выполнит весь заказ за 5 часов.

Формула не описывает качество работы или сложность отдельных этапов. Она подходит тогда, когда выбранная единица работы действительно равномерно накапливается во времени.

Как пользоваться формулой

Определите объем работы, производительность и время.
Проверьте согласование единиц времени.
Если работа совместная, сначала сложите производительности.
Выберите A = pt, p = A/t или t = A/p.
Запишите ответ в единицах работы или времени.

Историческая справка

Формулы движения, масштаба и работы выросли из практических задач о пути, времени, чертежах, производительности и распределении труда. Такие сюжеты встречались в старых арифметических задачниках задолго до современной алгебры. С появлением буквенной записи в XVI-XVII веках повторяющиеся зависимости стало удобно выражать короткими формулами. В школьном курсе они учат переводить текст задачи на язык величин и проверять единицы измерения.

Для темы «Работа через производительность и время» исторический контекст важен: современная формула не возникла как отдельная подсказка, а стала итогом долгого отбора удобной записи. Сначала решали конкретные практические или геометрические задачи, затем выделяли устойчивую связь величин, а учебники закрепляли ее как короткое правило. Поэтому формула одновременно служит вычислительным алгоритмом и способом увидеть структуру задачи.

Историческая линия формулы

У формулы «Работа через производительность и время» нет единственного автора в современном школьном смысле. Корректнее связывать ее с развитием практической арифметики величин, черчения и задач на движение или работу: нынешняя запись стала стандартной после распространения буквенной символики, доказательных учебников и единой системы школьного курса.

Пример

Задача: принтер печатает 18 страниц в минуту. Сколько страниц он напечатает за 7 минут? Дано: p = 18 страниц/мин, t = 7 мин. A = pt = 18 · 7 = 126 страниц. Ответ: 126 страниц. Проверка результата обязательна: подставляем найденное число обратно в исходную связь, следим за единицами и оцениваем ответ по смыслу. Если ответ должен быть длиной, площадью, временем или количеством, в конце записываем именно эту единицу, а не только число. Такой контроль помогает отличить верную формулу от похожего, но неподходящего правила.

Частая ошибка

Частая ошибка - складывать времена двух работников вместо их производительностей. Вторая ошибка - не согласовать единицы времени. Третья ошибка - считать производительность постоянной, хотя в условии есть ускорение, простой или разные этапы. Чтобы избежать ошибки, перед вычислением полезно подписать все величины словами, проверить знак, единицы и соответствие элементов на чертеже или в условии. Если формула применима только при специальных условиях, эти условия записывают до подстановки, а не после получения ответа.

Практика

Задачи с решением

Найти работу

Условие. Станок делает 24 детали в час. Сколько деталей он сделает за 5 часов?

Решение. A = 24 · 5 = 120.

Ответ. 120 деталей

Найти время

Условие. Мастер делает 15 деталей в час. Сколько часов нужно для 90 деталей?

Решение. t = 90/15 = 6.

Ответ. 6 часов

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика. Алгебра. Геометрия. Основная школа
OpenStax Prealgebra 2e and Elementary Algebra 2e: percents, radicals, quadratic equations, geometry

Связанные формулы

Математика

Скорость, время и расстояние

$s=vt,\quad v=\frac{s}{t},\quad t=\frac{s}{v}$

Формулы движения связывают расстояние, скорость и время при равномерном движении. Зная две величины, можно найти третью.

Математика