Математика / Функции и графики

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность задает зависимость, при которой произведение x и y постоянно. Если одна величина увеличивается, другая уменьшается во столько же раз.

Опубликовано: 26 мая 2026 г.Обновлено: 26 мая 2026 г.

Формула

y=\frac{k}{x},\quad x\ne0

График Гипербола y = k/x

Две ветви гиперболы приближаются к осям координат, но не пересекают их; при k > 0 они расположены в первой и третьей четвертях.

Оси являются асимптотами, потому что x = 0 запрещен.

Обозначения

$x$: независимая переменная, по смыслу задачи
$y$: зависимая переменная, по смыслу задачи
$k$: постоянное произведение xy, произведение единиц

Условия применения

Переменная x не равна нулю.
Произведение xy сохраняется постоянным и равно k.
Величины связаны обратной, а не прямой пропорциональностью.

Ограничения

Формула не подходит, если при увеличении x величина y тоже увеличивается.
При x = 0 значение функции не определено.
В реальных задачах зависимость может быть только приближенной.

Подробное объяснение

Обратная пропорциональность описывает ситуацию, где две величины компенсируют друг друга. Если x увеличивается в несколько раз, y уменьшается в столько же раз, чтобы произведение xy оставалось равным постоянному k.

Формула y = k/x получается из равенства xy = k делением на x. Это деление возможно только при x ≠ 0, поэтому ноль исключается из области определения. Постоянная k задает конкретную зависимость и масштаб графика.

Знак k влияет на расположение ветвей гиперболы. При k > 0 x и y имеют одинаковые знаки, ветви лежат в первой и третьей четвертях. При k < 0 знаки противоположны.

В задачах обратная пропорциональность часто скрыта в постоянном результате: один и тот же путь, один объем работы, одна сумма денег. Нужно найти величину, которая остается постоянной, и выразить одну переменную через другую.

От линейной функции эта зависимость отличается тем, что при равных прибавках x изменения y не равны. Поэтому ее график изгибается и лишь приближается к осям, не достигая их.

Как пользоваться формулой

Проверьте, сохраняется ли произведение двух величин.
Обозначьте это произведение буквой k.
Запишите y = k/x и условие x ≠ 0.
Подставьте значение x, чтобы найти y.
Для графика отметьте несколько точек и не проводите линию через оси.

Историческая справка

Формулы движения, масштаба и работы выросли из практических задач о пути, времени, чертежах, производительности и распределении труда. Такие сюжеты встречались в старых арифметических задачниках задолго до современной алгебры. С появлением буквенной записи в XVI-XVII веках повторяющиеся зависимости стало удобно выражать короткими формулами. В школьном курсе они учат переводить текст задачи на язык величин и проверять единицы измерения.

Для темы «Обратная пропорциональность» исторический контекст важен: современная формула не возникла как отдельная подсказка, а стала итогом долгого отбора удобной записи. Сначала решали конкретные практические или геометрические задачи, затем выделяли устойчивую связь величин, а учебники закрепляли ее как короткое правило. Поэтому формула одновременно служит вычислительным алгоритмом и способом увидеть структуру задачи.

Историческая линия формулы

У формулы «Обратная пропорциональность» нет единственного автора в современном школьном смысле. Корректнее связывать ее с развитием практической арифметики величин, черчения и задач на движение или работу: нынешняя запись стала стандартной после распространения буквенной символики, доказательных учебников и единой системы школьного курса.

Пример

Задача: путь 120 км нужно проехать со скоростью v. Время t = 120/v. Если v = 40 км/ч, то t = 3 ч; если v = 60 км/ч, то t = 2 ч. Произведение v · t в обоих случаях равно 120. Проверка результата обязательна: подставляем найденное число обратно в исходную связь, следим за единицами и оцениваем ответ по смыслу. Если ответ должен быть длиной, площадью, временем или количеством, в конце записываем именно эту единицу, а не только число. Такой контроль помогает отличить верную формулу от похожего, но неподходящего правила.

Частая ошибка

Частая ошибка - путать обратную пропорциональность с прямой и писать y = kx. Вторая ошибка - забывать x ≠ 0 и пытаться поставить ноль в знаменатель. Третья ошибка - считать график прямой линией. Чтобы избежать ошибки, перед вычислением полезно подписать все величины словами, проверить знак, единицы и соответствие элементов на чертеже или в условии. Если формула применима только при специальных условиях, эти условия записывают до подстановки, а не после получения ответа.

Практика

Задачи с решением

Время и скорость

Условие. Путь 90 км. Найдите время при скорости 30 км/ч.

Решение. t = 90/30 = 3.

Ответ. 3 часа

Найти постоянную

Условие. Для y = k/x известно x = 4, y = 6. Найдите k.

Решение. k = xy = 24.

Ответ. 24

Дополнительные источники

ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика. Алгебра. Геометрия. Основная школа
OpenStax Prealgebra 2e and Elementary Algebra 2e: percents, radicals, quadratic equations, geometry

Связанные формулы

Математика

Скорость, время и расстояние

$s=vt,\quad v=\frac{s}{t},\quad t=\frac{s}{v}$

Формулы движения связывают расстояние, скорость и время при равномерном движении. Зная две величины, можно найти третью.

Математика

Работа через производительность и время

$A=pt,\quad p=\frac{A}{t},\quad t=\frac{A}{p}$

В задачах на работу объем выполненной работы равен производительности, умноженной на время. Формула похожа на связь пути, скорости и времени.

Математика

Масштаб чертежа

$M=\frac{l_{\text{чертеж}}}{l_{\text{натура}}}$

Масштаб показывает отношение длины на чертеже к соответствующей реальной длине. Он позволяет уменьшать или увеличивать изображение без изменения формы объекта.

Математика

Обратная пропорциональность

$y=\frac{k}{x},\quad x\ne0$