Физика / Колебания и волны

Сложение уровней шума от независимых источников

Для независимых некоррелированных источников складывают линейные энергетические величины, а затем переводят сумму в децибелы. Два одинаковых уровня дают прибавку примерно 3,01 дБ, а не удвоение численного значения уровня.

Опубликовано: 16 октября 2026 г.Обновлено: 16 октября 2026 г.

Формула

L_{\Sigma}=10\log_{10}\!\left(\sum_{i=1}^{n}10^{L_i/10}\right)

График Прибавка к более громкому источнику

При равных уровнях прибавка 3,01 дБ, при разнице 10 дБ — около 0,414 дБ.

Обозначения

$LΣ$: уровень суммы некоррелированных сигналов, дБ
$Lᵢ$: уровень i-го источника в точке наблюдения, дБ
$n$: число независимых источников, шт.
$10^(Lᵢ/10)$: линейное отношение энергетической величины к опорной, безразмерная величина

Условия применения

Слагаемые некоррелированы, так что средний перекрёстный член равен нулю. Уровни имеют одинаковую опорную величину и относятся к одному месту, полосе частот и интервалу усреднения. Для интенсивностей сравнивается один согласованный поток; для давления складываются средние квадраты некоррелированных сигналов.

Ограничения

Когерентные тоны одинаковой частоты могут усиливать или гасить друг друга в зависимости от фазы; простое энергетическое сложение для них не гарантировано. Не складывайте в одной формуле уровни мощности и давления. Значения с разных расстояний сначала приводят к нужной точке, а не подставляют как есть.

Подробное объяснение

Уровень энергетической величины записывается как L=10log₁₀(E/E₀). Возведение 10 в степень L/10 возвращает линейное отношение E/E₀. Суммирование этих отношений и повторный логарифм дают суммарный уровень при аддитивности E.

Для независимых звуковых давлений средний квадрат суммы равен сумме средних квадратов: ⟨(p₁+p₂)²⟩=⟨p₁²⟩+⟨p₂²⟩, поскольку ⟨p₁p₂⟩=0. Поэтому та же запись работает для уровней звукового давления, хотя отдельный уровень давления определяется через 20log₁₀(pRMS/p₀).

Если n источников имеют одинаковый уровень L, из суммы можно вынести 10^(L/10). Получается LΣ=L+10log₁₀n. Для двух источников прибавка 3,0103 дБ, для десяти — 10 дБ. Эти числа выражают рост энергии, а не арифметическое сложение децибелов.

Удобная численная форма использует наибольший уровень M: LΣ=M+10log₁₀Σ10^((Lᵢ−M)/10). Она уменьшает размер промежуточных чисел и сразу показывает, что сумма не меньше максимального слагаемого. Для двух уровней, различающихся на 10 дБ, прибавка к большему составляет лишь около 0,414 дБ.

Корреляция — физическое условие, а не формальность. Две синфазные одинаковые волны в одной точке удваивают давление и дают около 6,02 дБ прибавки. Поэтому опыт с двумя синхронными громкоговорителями нельзя автоматически рассчитывать как сумму независимого шума.

Как пользоваться формулой

Убедитесь, что все уровни относятся к одной точке и одинаковым опорным величинам, полосам и усреднению.
Проверьте независимость сигналов: устойчивую фазовую связь нельзя игнорировать при сложении давлений.
Преобразуйте каждый уровень в 10^(Lᵢ/10), сложите полученные отношения и возьмите 10log₁₀ суммы.
Сравните ответ с самым громким источником; для двух равных независимых сигналов ожидайте прибавку 3,01 дБ.

Историческая справка

Логарифмические уровни получили широкое применение в телефонной технике, где требовалось удобно описывать отношения мощностей и потери при передаче. В архиве Bell Labs сохранена работа W. H. Martin Decibel—The Name for the Transmission Unit, опубликованная в 1929 году; она обсуждает наименование единицы и развитие прежней единицы передачи. В акустике тот же математический язык позволяет представлять огромный диапазон интенсивностей компактными числами. Правило сложения источников не является новым определением децибела: оно получается обратным переходом к энергии, её суммированием и возвращением к логарифму. Современные университетские материалы подчёркивают разницу между уровнями давления, интенсивности и воспринимаемой громкостью. Это помогает не превращать удобную шкалу в ошибочное правило арифметического сложения.

Историческая линия формулы

Децибел связан с историей измерения передачи в Bell System; название единицы не означает авторство Александра Белла над формулой суммирования шума. Формула на странице выводится из логарифмического определения уровня и условия некоррелированности источников.

Пример

В точке наблюдения два независимых источника по отдельности создают по 60 дБ. Каждый соответствует линейному отношению 10⁶ к общей опорной энергетической величине. Сумма равна 2·10⁶, поэтому LΣ=10log₁₀(2·10⁶)=60+10log₁₀2≈63,0103 дБ. Арифметические 120 дБ неверны: они означали бы рост линейного отношения до 10¹². Проверим неравный случай: уровни 60 и 50 дБ дают 10⁶+10⁵=1,1·10⁶ и LΣ≈60,4139 дБ. Более тихий источник увеличивает результат, но на долю децибела. Оба расчёта предполагают отсутствие устойчивой взаимной корреляции сигналов.

Частая ошибка

Не складывайте сами децибелы как обычные энергии. Не используйте 20log для суммы уже преобразованных энергетических отношений. Не смешивайте разные опорные величины, полосы и точки измерения. Не применяйте прибавку 3 дБ к синфазным одинаковым давлениям: там сначала нужно учесть фазу.

Практика

Задачи с решением

Три одинаковых источника

Условие. Три независимых источника дают в одной точке по 70 дБ. Найдите суммарный уровень.

Решение. LΣ=70+10log₁₀3≈70+4,7712=74,7712 дБ.

Ответ. 74,77 дБ

Десять источников

Условие. Каждый из десяти независимых источников создаёт 40 дБ в точке контроля. Найдите сумму.

Решение. LΣ=40+10log₁₀10=40+10=50 дБ.

Ответ. 50 дБ

Дополнительные источники

https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/17-3-sound-intensity
https://phys.unsw.edu.au/music/dB.html
https://www.nokia.com/bell-labs/publications-and-media/publications/decibel-the-name-for-the-transmission-unit/

Связанные формулы

Физика

Уровень громкости звука

$L=10\lg\frac{I}{I_0}$

Уровень звука в децибелах равен 10 lg(I/I0), где I0 обычно принимают равным 10^-12 Вт/м^2 для воздуха. Это помогает быстро выбрать расчетную модель, проверить размерность ответа и связать формулу с соседними темами курса.

Физика

Интенсивность звука через среднеквадратичное давление

$I=\frac{p_{\mathrm{rms}}^2}{\rho c}=\frac{p_{\max}^2}{2\rho c}$

Средняя интенсивность плоской бегущей звуковой волны равна квадрату RMS-давления, делённому на ρc. Для синусоиды вместо RMS можно взять амплитуду давления, но тогда в знаменателе появляется множитель 2.

Физика

Частота биений двух близких звуковых частот

$f_{\mathrm{б}}=|f_1-f_2|,\qquad T_{\mathrm{б}}=\frac{1}{|f_1-f_2|}$

Биения — периодическое усиление и ослабление суммарного колебания при сложении двух близких частот. Число максимумов огибающей в секунду равно модулю разности исходных частот, а не половине этой разности.