Математика / Алгебра

Степень числа минус один

Степень числа -1 зависит от четности показателя: при четном показателе результат равен 1, при нечетном - остается -1. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Школьная программа Формулы по математике за 7 класс Алгебра Есть историческая справка

Формула

(-1)^n=\begin{cases}1, & n\text{ четное},\\-1, & n\text{ нечетное}.\end{cases}

Обозначения

$n$: натуральный показатель степени
$(-1)^n$: результат возведения -1 в степень n

Условия применения

Показатель n является натуральным числом.
Основание заключено в скобки: в степень возводится именно число -1.
Четность показателя определена до вычисления.

Ограничения

Запись -1^n без скобок может читаться как -(1^n), поэтому скобки важны.
Формула не заменяет правила для произвольного отрицательного основания, где еще учитывается модуль числа.
При нулевом показателе действует отдельное правило для ненулевого основания.

Подробное объяснение

Число -1 удобно тем, что его модуль равен 1, поэтому при возведении в степень меняется только знак. Каждый множитель -1 меняет знак произведения. Две такие смены подряд возвращают положительный знак.

Если показатель четный, множители -1 можно разбить на пары: (-1)(-1) = 1. Произведение всех пар равно 1. Если показатель нечетный, после разбиения на пары остается один лишний множитель -1, поэтому результат равен -1.

Эта формула помогает понять общий закон степеней отрицательных чисел. Отрицательное основание в четной степени дает положительный результат, а в нечетной сохраняет отрицательный знак. Для основания -1 числовая часть не меняется, поэтому правило видно особенно ясно.

В 7 классе важно различать (-1)^n и -1^n. Скобки показывают, что знак минус входит в основание. Без скобок степень может относиться только к 1, а минус останется перед результатом.

Формула часто встречается внутри более длинных выражений. Например, (-x)^4 = x^4, потому что отрицательный знак повторяется четное число раз, а (-x)^5 = -x^5.

Алгебраическое преобразование считается надежным только тогда, когда сохранена структура выражения: скобки, знаки, показатели степеней и ограничения на знаменатели. Поэтому после применения формулы полезно выполнить короткую проверку подстановкой удобного числа или обратным раскрытием скобок.

Как пользоваться формулой

Посмотрите, заключено ли -1 в скобки.
Определите четность показателя n.
Если n четное, замените степень на 1.
Если n нечетное, замените степень на -1.
Подставьте результат в исходное выражение.
Проверьте знак, если рядом есть другие множители.

Историческая справка

Правила знаков при умножении отрицательных чисел формировались постепенно. Отрицательные числа долго воспринимались как вспомогательные или «долговые» величины, поэтому их степени не сразу стали обычной частью школьной алгебры.

С развитием символической алгебры отрицательные числа заняли полноценное место в вычислениях. Правило произведения двух отрицательных множителей как положительного стало основой для понимания четных и нечетных степеней.

В современной школе степень числа -1 является простейшей моделью периодического изменения знака. Та же идея позднее встречается в последовательностях, формулах с чередующимися знаками и более сложных алгебраических преобразованиях.

В учебниках нового времени эти правила закрепились как стандартная техника преобразований. Их историческое значение не в отдельной дате открытия, а в переходе от числовых примеров к общим буквенным равенствам, которые можно применять к целым классам выражений.

Историческая линия формулы

Формула для (-1)^n не имеет отдельного автора. Она следует из правил умножения отрицательных чисел и определения степени с натуральным показателем. В современной школьной алгебре она рассматривается как следствие определения операции и общих свойств действий, а не как самостоятельная авторская формула.

Пример

Дано: упростить выражение (-1)^6a^2 + (-1)^7a^2. Определяем четность показателей: 6 - четное число, поэтому (-1)^6 = 1; 7 - нечетное число, поэтому (-1)^7 = -1. Подстановка дает 1 · a^2 + (-1) · a^2 = a^2 - a^2 = 0. Ответ: 0. Проверка: шесть отрицательных множителей дают положительный знак, семь - отрицательный. Поэтому два подобных одночлена имеют противоположные коэффициенты и взаимно уничтожаются. Развернутая запись решения. Условие: Вычислите (-1)^8. Дано: n - натуральный показатель степени; (-1)^n - результат возведения -1 в степень n. Требуется получить искомую величину и проверить ее по исходному условию. Подстановка и вычисление: Показатель 8 четный, поэтому (-1)^8 = 1. Ответ: 1. Проверка выполняется обратным раскрытием, сворачиванием или подстановкой допустимого значения переменной. Исходная и полученная записи должны давать одинаковое число; это быстро обнаруживает потерянный знак, скобку или степень.

Частая ошибка

Главная ошибка - игнорировать скобки: (-1)^4 = 1, но -1^4 обычно читается как -1. Еще часто считают, что любая степень отрицательного числа отрицательна. Это неверно для четных показателей. При длинном выражении знак степени нужно определить до приведения подобных слагаемых. Для самопроверки удобно подставить простое значение переменной, например 1 или 2, если оно допустимо. Исходное и преобразованное выражения должны дать один и тот же результат; иначе потерян знак, скобка или показатель степени.

Практика

Задачи с решением

Четный показатель

Условие. Вычислите (-1)^8.

Решение. Показатель 8 четный, поэтому (-1)^8 = 1.

Ответ. 1

Нечетный показатель

Условие. Вычислите (-1)^11.

Решение. Показатель 11 нечетный, поэтому (-1)^11 = -1.

Ответ. -1

Дополнительные источники

ФИПИ. Открытый банк заданий ОГЭ по математике: алгебраические преобразования и функции
Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. М.: Просвещение
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. М.: Просвещение

Связанные формулы

Математика

Степень произведения

$(ab)^n = a^n b^n$

Степень произведения равна произведению степеней всех множителей: каждый множитель внутри скобок возводится в тот же показатель.

Математика

Степень степени

$(a^m)^n = a^{mn}$

При возведении степени в степень основание сохраняют, а показатели перемножают, потому что число одинаковых множителей повторяется группами.

Математика

Произведение степеней с одинаковым основанием

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели складывают, потому что множители одного вида объединяются.

Математика

Частное степеней с одинаковым основанием

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},\quad a \ne 0$

При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием основание сохраняют, а из показателя числителя вычитают показатель знаменателя.

Математика

Равносильные преобразования уравнения

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

Математика

Приведение подобных слагаемых

$ka + ma = (k + m)a$

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.

Математика

Умножение многочлена на многочлен

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.

Математика

Вынесение общего множителя за скобки

$ab + ac = a(b + c)$

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.