Физика / Молекулярная физика

Уравнение Ван-дер-Ваальса для реального газа

Уравнение Ван-дер-Ваальса учитывает притяжение молекул и их конечный размер с помощью параметров a и b. Оно уточняет идеальную газовую модель, но не является точным уравнением для любого состояния.

Опубликовано: 6 октября 2026 г.Обновлено: 6 октября 2026 г.

Формула

\left(p+\frac{a\nu^2}{V^2}\right)(V-\nu b)=\nu RT

График p, кПа и V, л

ν = 1 моль, T = 300 К, a = 0,10 Па·м⁶/моль², b = 0,000040 м³/моль.

Обозначения

$p$: абсолютное давление, Па
$ν$: количество вещества, моль
$V$: объём газа, м³
$T$: абсолютная температура, К
$R$: универсальная газовая постоянная, Дж/(моль·К)
$a$: параметр притяжения, Па·м⁶/моль²
$b$: параметр исключённого объёма, м³/моль

Условия применения

Задают однородную порцию вещества, температуру в кельвинах и параметры a, b одного набора данных. Необходимо V > νb. Если требуется количественно точный результат, диапазон пригодности модели проверяют по экспериментальному уравнению состояния вещества.

Ограничения

Уравнение качественно описывает неидеальность, но может заметно ошибаться в плотном газе, жидкости и возле критической точки. Петля изотермы ниже критической температуры не является устойчивым однородным состоянием: фазовое равновесие требует дополнительного построения. Нельзя использовать произвольный корень кубического уравнения без физической проверки.

Подробное объяснение

В идеальном газе молекулы считаются точками без взаимодействия за пределами столкновений. В модели Ван-дер-Ваальса доступный для движения объём заменяют на V − νb. При уменьшении свободного объёма давление возрастает сильнее, чем предсказывает идеальная формула. Параметр b имеет размерность молярного объёма, но его не следует буквально принимать за геометрический объём одного моля молекул.

Притяжение уменьшает давление на стенку. В явной записи p = νRT/(V − νb) − aν²/V² второй член отрицателен. Его зависимость от квадрата концентрации отражает парный характер взаимодействия. Положительная поправка из-за размера и отрицательная из-за притяжения конкурируют, поэтому отклонение от идеального давления может иметь любой знак.

При большом V оба эффекта малы: νb/V стремится к нулю, а поправка притяжения убывает как 1/V². Модель тогда переходит в pV = νRT. Этот предел полезен для проверки преобразований и единиц коэффициентов.

Для одного моля можно ввести молярный объём v = V/ν: (p + a/v²)(v − b) = RT. Смешивать эту запись с полным объёмом нельзя. Если V задан в литрах, а R — в джоулях, сначала переводят объём в м³ и используют параметры a, b именно в СИ.

Как пользоваться формулой

Выберите a и b для вещества и проверьте их единицы вместе с единицами R.
Переведите T в кельвины, V в м³ и вычислите доступный объём V − νb.
Рассчитайте νRT/(V − νb) и отдельно поправку aν²/V².
Вычтите поправку притяжения из первого слагаемого и сравните с идеальным давлением.
Оцените применимость однородной газовой модели, особенно при малом объёме и низкой температуре.

Историческая справка

Йоханнес Дидерик Ван-дер-Ваальс предложил описание газа с учётом размера молекул и их притяжения в XIX веке. Важность подхода состояла не только в поправке давления: одна аналитическая модель позволила обсуждать связь газового и жидкого состояний и существование критической области.

Последующие уравнения состояния стали точнее и учитывают свойства конкретных веществ значительно подробнее. Тем не менее двухпараметрическая модель сохранила учебную ценность: в ней легко проследить физический смысл каждого изменения идеального газового закона. Современное применение требует разделять качественное объяснение взаимодействий и точность инженерного расчёта; простота формулы сама по себе не гарантирует хорошего совпадения с опытом во всём диапазоне давлений.

Историческая линия формулы

Уравнение носит имя Ван-дер-Ваальса и отражает его подход к непрерывности газового и жидкого состояний. Параметры a и b характеризуют приближённый учёт взаимодействия и исключённого объёма; современная запись в СИ сохраняет этот смысл без утверждения о точности модели для любой жидкости.

Пример

В учебной модели ν = 1 моль, T = 300 К, V = 0,010 м³, a = 0,10 Па · м⁶/моль², b = 0,000040 м³/моль. Берём R = 8,314 Дж/(моль · К). Свободный объём равен 0,009960 м³. Первый член давления: 2494,2/0,009960 ≈ 250 421,69 Па. Поправка притяжения: 0,10/0,010² = 1000 Па. Поэтому p ≈ 249 421,69 Па, или 249,42 кПа. Идеальная модель дала бы 249,42 кПа; здесь два небольших эффекта почти компенсировались. Совпадение итоговых давлений не доказывает отсутствия взаимодействий: оба ненулевых поправочных члена были рассчитаны отдельно. Параметры заданы условием и не приписываются конкретному газу.

Частая ошибка

Нельзя менять знак поправки притяжения в явной формуле давления: она вычитается. Условие V > νb обязательно. Литровые коэффициенты a и b несовместимы с СИ без перевода. Совпадение результата с идеальной моделью иногда получается из компенсации эффектов и не подтверждает точечность молекул или отсутствие сил между ними.

Практика

Задачи с решением

Только исключённый объём

Условие. В модели a = 0, b = 0,000040 м³/моль, ν = 1 моль, T = 300 К, V = 0,010 м³. Найдите p при R = 8,314.

Решение. p = 2494,2/(0,010 − 0,000040) ≈ 250 421,69 Па.

Ответ. Около 250,42 кПа.

Идеальный предел

Условие. Положите a = b = 0, ν = 1 моль, T = 300 К, V = 0,010 м³. Найдите давление при R = 8,314.

Решение. p = νRT/V = 1 · 8,314 · 300/0,010 = 249 420 Па.

Ответ. 249,42 кПа.

Дополнительные источники

https://openstax.org/books/chemistry-2e/pages/9-6-non-ideal-gas-behavior
https://www.ocw.mit.edu/courses/8-08-statistical-physics-ii-spring-2005/resources/vanderwaals_mod/

Связанные формулы

Физика

Уравнение Менделеева - Клапейрона

$pV=\nu RT$

Уравнение Менделеева–Клапейрона связывает давление, объём, температуру и количество вещества идеального газа: pV = νRT. Оно переводит между макроскопическими параметрами одного состояния.

Физика

Уравнение Дитеричи

$p(V_m-b)=RT\exp\left(-\frac{a}{RTV_m}\right)$

Уравнение Дитеричи является эмпирическим уравнением состояния реального газа с поправками на собственный объем молекул и межмолекулярное притяжение.

Физика

Коэффициент сжимаемости реального газа Z

$Z=\frac{pV}{\nu RT}=\frac{pv}{RT}$

Фактор сжимаемости Z сравнивает реальное состояние газа с идеальным газовым законом. Он равен единице в идеальной модели и не совпадает с изотермической сжимаемостью, измеряемой в Па⁻¹.