Все формулы РФ

Физика / Термодинамика

Уравнение Дитеричи

Уравнение Дитеричи является эмпирическим уравнением состояния реального газа с поправками на собственный объем молекул и межмолекулярное притяжение.

Опубликовано: Обновлено:

Формулы по физике за 10 классФормулы по физике для ЕГЭТермодинамикаМолекулярная физикаКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$p(V_m-b)=RT\exp\left(-\frac{a}{RTV_m}\right)$$
Сравнение моделей Идеальный и реальный газ
идеальныйреальный

При больших объемах и высоких температурах поправки становятся малы.

Обозначения

$p$
давление газа, Па
$V_m$
молярный объем газа, м^3/моль
$b$
поправка на собственный объем молекул, м^3/моль
$R$
универсальная газовая постоянная, Дж/(моль·К)
$T$
температура, К
$a$
параметр межмолекулярного притяжения, зависит от выбранной системы единиц

Условия применения

  • Рассматривается один моль или используется молярный объем Vm.
  • Параметры a и b выбраны для конкретного вещества.
  • Газ находится в равновесном состоянии, где уравнение состояния применимо.

Ограничения

  • Уравнение эмпирическое и не является универсально точным для всех газов и условий.
  • Около фазовых переходов и в критической области точность может быть ограниченной.
  • Нужно согласовывать единицы a, b, R, T и Vm; иначе экспонента потеряет безразмерность.

Подробное объяснение

Идеальный газ пренебрегает двумя важными особенностями реальных молекул: они имеют конечный размер и притягиваются друг к другу. Поправка b уменьшает доступный молярный объем, потому что часть пространства занята молекулами. Экспоненциальный множитель с параметром a учитывает влияние притяжения на давление и делает модель отличной от более известного уравнения Ван-дер-Ваальса.

Уравнение Дитеричи важно как пример семейства уравнений состояния. Оно показывает, что реальный газ нельзя описать одной универсальной простой формулой во всех условиях. Разные модели подбирают компромисс между физической интерпретацией параметров, математическим удобством и точностью в нужной области.

В учебных задачах формулу часто используют качественно: при больших Vm и высоких T она должна переходить к идеальному газу; при меньших объемах и температурах поправки становятся существенными. Такой анализ помогает понять, почему реальные газы отклоняются от pV = nuRT.

Как пользоваться формулой

  1. Убедитесь, что задан молярный объем Vm или переведите V/n в Vm.
  2. Возьмите параметры a и b для конкретного газа в согласованных единицах.
  3. Проверьте безразмерность показателя экспоненты.
  4. Подставьте T и Vm в p(Vm - b) = RT exp(-a/(RTVm)).
  5. Сравните результат с идеальным p = RT/Vm, чтобы оценить поправку.

Историческая справка

Уравнение Дитеричи было предложено немецким физиком Конрадом Дитеричи в конце XIX века, когда активно искали более точные модели реальных газов, чем идеальный закон. После успеха уравнения Ван-дер-Ваальса стало ясно, что параметры, связанные с размером молекул и притяжением, позволяют описывать качественные особенности реальных газов и критического состояния. Разные исследователи предлагали свои формы уравнений состояния, стремясь лучше согласовать теорию с экспериментом. Уравнение Дитеричи осталось важным историческим и учебным примером такой полуэмпирической модели. Оно показывает, как термодинамика постепенно переходила от простых законов к моделям вещества с параметрами, отражающими строение молекул.

Историческая линия формулы

Уравнение названо в честь Конрада Дитеричи. Оно относится к классу уравнений состояния реальных газов, развивавшихся после работ Ван-дер-Ваальса и расширявших идеальную модель pV = nRT. поправками на конечный объем молекул и их притяжение.

Пример

Если межмолекулярное притяжение мало или температура высока, показатель a/(RTVm) становится небольшим, экспонента близка к единице. Тогда уравнение Дитеричи приближается к p(Vm - b) ≈ RT. Если дополнительно молярный объем намного больше b, получается pVm ≈ RT, то есть идеальный газ. Это показывает, как модель реального газа переходит к уравнению Менделеева - Клапейрона в разреженном высокотемпературном пределе. В расчетах с конкретным газом сначала берут табличные a и b, затем подставляют T и Vm и только после этого находят p.

Частая ошибка

Частая ошибка - использовать общий объем V вместо молярного Vm без перерасчета. Вторая ошибка - подставлять параметры a и b от другого уравнения состояния или в несовместимых единицах. Еще одна ошибка - считать экспоненту размерной: величина a/(RTVm) должна быть безразмерной в выбранной системе. Наконец, нельзя ожидать от уравнения Дитеричи идеальной точности во всех областях.

Практика

Задачи с решением

Идеальный предел

Условие. Что получится из уравнения Дитеричи при a -> 0 и b -> 0?

Решение. Экспонента станет равной 1, а Vm - b перейдет в Vm. Получится pVm = RT.

Ответ. уравнение идеального газа для одного моля

Роль b

Условие. Как влияет увеличение b при фиксированных p, T и a в качественном смысле?

Решение. b уменьшает доступный объем Vm - b. Чем больше собственный объем молекул, тем сильнее отклонение от идеальной модели.

Ответ. усиливает поправку на конечный объем молекул

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • Atkins Physical Chemistry, раздел Real gases and equations of state
  • Landau and Lifshitz, Statistical Physics, discussion of real gas equations of state

Связанные формулы

Физика

Уравнение Менделеева - Клапейрона

$pV=\nu RT$

Уравнение состояния идеального газа связывает давление, объем, количество вещества и абсолютную температуру газа. Оно задает равновесную модель разреженного газа.

Физика

Универсальная газовая постоянная

$R=N_A k$

Универсальная газовая постоянная равна произведению постоянной Авогадро на постоянную Больцмана и связывает молярный и молекулярный уровни описания газа.

Физика

Уравнение Клаузиуса - Клапейрона

$\frac{dp}{dT}=\frac{L}{T\Delta V}$

Уравнение Клаузиуса - Клапейрона связывает наклон линии фазового равновесия с теплотой перехода, температурой и изменением объема.