Физика / Электричество

Закон Гаусса (теорема Гаусса) для электрического поля

Закон Гаусса связывает поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность с полным зарядом внутри этой поверхности. Он особенно удобен для симметричных распределений зарядов.

Опубликовано: 26 мая 2026 г.Обновлено: 26 мая 2026 г.

Школьная программа ЕГЭ Формулы по физике за 11 класс Электричество Электростатика Есть историческая справка

Формула

\oint_S \vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{\text{внутр}}}{\varepsilon_0}

схема Закон Гаусса (теорема Гаусса) для электрического поля

Сначала выбирают физическую модель и единицы СИ, затем подставляют значения в формулу.

Обозначения

$\oint_S \vec E\cdot d\vec S$: поток электрического поля через замкнутую поверхность, Н·м^2/Кл
$Q_{\text{внутр}}$: алгебраическая сумма зарядов внутри поверхности, Кл
$\varepsilon_0$: электрическая постоянная, Ф/м
$S$: замкнутая гауссова поверхность, м^2

Условия применения

Поверхность интегрирования должна быть замкнутой.
Заряды учитываются только те, которые находятся внутри выбранной поверхности.
Для быстрого вычисления поля нужна симметрия: сферическая, цилиндрическая или плоская.

Ограничения

Сам закон верен всегда в электростатике, но без симметрии он не всегда упрощает расчет поля.
В неоднородных средах вместо простой записи через epsilon0 нужно учитывать свойства вещества.
Поток может быть нулевым при ненулевом поле, если суммарный заряд внутри поверхности равен нулю.

Подробное объяснение

Закон Гаусса (теорема Гаусса) для электрического поля связывает измеряемые величины электромагнетизма в компактное расчетное правило. Он показывает, что источником электрического поля служит заряд, а замкнутая поверхность работает как воображаемый счетчик силовых линий: сколько линий выходит наружу за вычетом входящих, столько алгебраически связано с зарядом внутри. Формула читается так: поток E через любую замкнутую поверхность равен внутреннему заряду, деленному на электрическую постоянную. Важно не относиться к записи как к набору букв: каждая величина описывает отдельную сторону физической ситуации. Знак заряда важен: положительный заряд дает положительный внешний поток, отрицательный - поток внутрь поверхности. Форма поверхности может быть произвольной, но в расчетах ее выбирают так, чтобы E был постоянен по модулю или перпендикулярен нужным участкам.

При решении задачи сначала выбирают модель: точечные заряды, однородное поле, длинный прямой проводник, линейная среда или квазистационарная цепь. После этого проверяют единицы СИ и только затем подставляют числа. Такой порядок защищает от самой неприятной ошибки в электродинамике, когда численный ответ выглядит правдоподобно, но относится к другой геометрии или другому полю. Например, для сферически симметричного заряда поле одинаково на сфере радиуса r, поэтому интеграл превращается в E умножить на 4*pi*r^2.

Физический смысл формулы особенно хорошо виден в предельных случаях. Если источник поля исчезает, соответствующая сила, поток, ток или энергия должны обратиться в ноль. Если расстояние, площадь, температура или сопротивление меняются, результат должен меняться в ту сторону, которую подсказывает опыт. Если радиус гауссовой сферы увеличить вокруг того же точечного заряда, поток останется прежним, а напряженность уменьшится как 1/r^2. Поэтому после вычисления полезно выполнить качественную проверку: оценить знак, порядок величины, зависимость от параметров и соответствие условиям применимости. В учебной и инженерной работе эта проверка часто важнее последней цифры после запятой.

Как пользоваться формулой

Определите физическую модель и проверьте, что условия задачи ей соответствуют.
Переведите заряды, расстояния, токи, поля и емкости в единицы СИ.
Подставьте значения в формулу, аккуратно сохраняя степени десяти.
Если величина векторная, отдельно определите направление по рисунку и правилу знаков.
Проверьте результат по размерности и по предельному случаю.

Историческая справка

Идея потока поля восходит к математике Карла Фридриха Гаусса и к развитию потенциальной теории. В электростатике она получила особенно ясный смысл после работ Фарадея о силовых линиях и после математического оформления электромагнитного поля у Максвелла. В современном школьном и университетском курсе эта формула выглядит как отдельная строка, но исторически она является частью более большой перестройки физики XIX века: электричество, магнетизм, оптика и свойства вещества постепенно стали описывать единым языком поля. Поэтому полезно помнить, что привычная запись через E, B, H, epsilon, mu, токи и заряды появилась не мгновенно. Она стала результатом уточнения экспериментов, выбора единиц измерения и перехода от качественных опытов к математической теории, пригодной для расчета приборов, материалов и электрических цепей.

Историческая линия формулы

Название связано с Гауссом, потому что теорема о потоке векторного поля через замкнутую поверхность была фундаментальной для математической физики. Электростатический смысл закона сложился в линии Фарадей - Максвелл, где поле стало самостоятельным объектом описания. В учебной атрибуции поэтому лучше называть не только фамилию из заголовка закона, но и физическую традицию, в которой формула приобрела современный вид: эксперименты, полевая теория, система единиц СИ и последующее инженерное применение.

Пример

Точечный заряд q = 3,0 нКл находится в центре сферической поверхности радиуса 0,20 м. Поток электрического поля через сферу равен Phi = q/epsilon0 = 3,0 * 10^-9 / 8,85 * 10^-12 = 3,39 * 10^2 Н*м^2/Кл. Радиус сферы в этом расчете не нужен для потока: любая замкнутая поверхность, охватывающая тот же заряд, дала бы тот же результат. Если дополнительно найти напряженность на сфере, тогда E = Phi/(4*pi*r^2), и радиус уже войдет в знаменатель. Все величины перед подстановкой приведены к единицам СИ, поэтому итоговая единица получается автоматически из формулы. После вычисления полезно сделать смысловую проверку: увеличить один параметр в уме и посмотреть, изменился бы ответ в ожидаемую сторону. Если такая проверка противоречит результату, обычно ошибка скрыта в степени десяти, угле, радиусе вместо диаметра или в перепутанном определении поля. В окончательном ответе записывают не только число, но и единицу измерения, потому что без единицы физический результат неполон.

Частая ошибка

Частая ошибка - учитывать заряды, которые расположены снаружи гауссовой поверхности. Они могут менять поле в отдельных точках поверхности, но не меняют полный поток через нее. Вторая ошибка - считать, что нулевой поток означает нулевое поле везде: поле может входить через одну часть поверхности и выходить через другую. Еще одна частая проблема - механически подставлять внесистемные единицы: сантиметры вместо метров, миллиамперы вместо ампер, микрокулоны вместо кулонов. В электромагнетизме такая ошибка сразу меняет ответ на несколько порядков. Также нельзя забывать, что многие формулы дают модуль величины, а направление, знак или ориентацию контура определяют отдельно по рисунку и принятому соглашению.

Практика

Задачи с решением

Поле точечного заряда

Условие. Через сферу вокруг заряда проходит поток 5,0 * 10^2 Н*м^2/Кл. Найдите заряд внутри.

Решение. Q = epsilon0 * Phi = 8,85 * 10^-12 * 5,0 * 10^2 = 4,43 * 10^-9 Кл.

Ответ. 4,43 нКл

Заряд внутри поверхности

Условие. Внутри замкнутой поверхности находятся заряды +2 нКл и -5 нКл. Найдите поток.

Решение. Qвнутр = -3 нКл. Phi = Q/epsilon0 = -3,0 * 10^-9 / 8,85 * 10^-12 = -339 Н*м^2/Кл.

Ответ. примерно -339 Н*м^2/Кл

Дополнительные источники

OpenStax University Physics Volume 2, chapters Electric Charges and Fields, Electric Current, Magnetic Fields, Electromagnetic Induction
ФИПИ: кодификатор ЕГЭ по физике 2026, раздел «Электродинамика»

Связанные формулы

Физика

Закон Кулона

$F=k\frac{|q_1q_2|}{r^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q_1q_2|}{r^2}$

Закон Кулона задает модуль силы электростатического взаимодействия двух точечных зарядов. Сила пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Физика

Электрическая постоянная

$\varepsilon_0=\frac{1}{\mu_0 c^2}\approx 8{,}854\cdot10^{-12}\,\text{Ф/м}$

Электрическая постоянная, или диэлектрическая проницаемость вакуума, задает масштаб связи электрического поля, заряда и электромагнитных волн в СИ.

Физика

Элементарный электрический заряд

$e=1{,}602176634\cdot10^{-19}\,\text{Кл}$

Элементарный электрический заряд равен модулю заряда протона и модулю заряда электрона. В современной СИ его значение задано точно.

Физика

Сила тока через заряд и время

$I = \frac{q}{t}$

Сила тока равна отношению электрического заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, ко времени прохождения заряда.