Предмет
Формулы по алгебре, геометрии, тригонометрии, началам анализа и вероятности.
603 формулы
Показаны 481-540 из 603. Остальные формулы доступны на соседних страницах раздела.
Проецирование на пространство столбцов Q удобно через матрицу QQ^T. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода.
После QR-раскладывания задача минимизации сводится к решению треугольной системы. Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений.
Из A=QR получаем эквивалентное равенство через R, сохраняя идею нормальных уравнений. Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений.
Оптимальный LS-решение дает остаток, перпендикулярный всем столбцам A (и столбцам Q). Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений.
Любая квадратичная форма задаётся симметричной (или эквивалентно любая) матрицей A через скалярное произведение вектора x с образом A x.
В x^T A x участвуют только симметричные коэффициенты, поэтому любую матрицу A можно заменить симметричной частью без изменения квадратичной формы.
Любую квадратичную форму двух- и трёхпеременных можно записать через матрицу, где коэффициенты при смешанных членах делятся пополам и переносятся в симметричные ячейки.
При обратимой линейной замене x = S y матрица формы меняется по сопряжённому преобразованию, а сама квадратичная форма остаётся той же величиной.
Если у квадратичной формы есть линейная часть, её удобно убрать сдвигом переменных x→x+x₀ и затем сводить оставшуюся чистую квадратичную часть к главным осям.
В плоскости поворот координат на θ (u,v) убирает смешанный член q. Главные оси соответствуют направлениям, где кросс-термин исчезает.
Для симметричной A всегда существует ортогональная матрица собственных векторов, которая переводит квадратичную форму в диагональный вид и задаёт главные оси.
В координатах главных осей квадратичная форма становится суммой квадратов с весами-коэффициентами λ_i, что упрощает классификацию многообразий.
Критерий Сильвестра даёт практичный способ определить знак квадратичной формы через детерминанты ведущих главных миноров симметрической матрицы.
На единичной сфере максимум и минимум квадратичной формы достигаются на собственных векторах, соответствующих λ_max и λ_min.
Критерий наименьших квадратов измеряет суммарную квадратичную ошибку между наблюдаемым вектором b и моделью Ax, поэтому превращает переопределенную систему в задачу минимизации.
Нормальные уравнения A^T A x = A^T b задают стационарное условие задачи МНК и позволяют найти параметры, при которых остаток ортогонален всем столбцам матрицы A.
Ортогональность невязки означает, что в оптимальном МНК-решении остаток r=b-Ax перпендикулярен каждому столбцу A и не содержит направления, которое можно еще улучшить моделью.
Если столбцы A линейно независимы, решение МНК можно записать явно как x=(A^T A)^{-1}A^T b, потому что матрица A^T A становится обратимой.
Разложение Холецкого применяет положительную определенность A^T A и заменяет решение нормальных уравнений двумя треугольными системами.
При переходе к нормальным уравнениям число обусловленности фактически возводится в квадрат, поэтому ошибки округления и шум в данных могут заметно усилиться.
QR-разложение решает задачу МНК без формирования A^T A: если A=QR, то параметры находятся из треугольной системы R x = Q^T b.
Псевдообратная матрица A^+ записывает МНК-решение как x=A^+b и обобщает обратную матрицу на прямоугольные и вырожденные системы.
Матрица P=A(A^T A)^{-1}A^T проецирует b на пространство столбцов A, а вектор Pb является предсказанием модели МНК. Эта запись важна не как отдельный трюк, а как часть практического языка линейных моделей и обработки измерений.
Малую систему нормальных уравнений 2×2 можно решить вручную через определитель или исключение, не строя полную обратную матрицу.
Сингулярное разложение представляет матрицу как произведение двух ортогональных матриц и диагональной матрицы сингулярных чисел. Это универсальная форма разложения, которая работает для прямоугольных матриц и показывает главные направления действия линейного отображения.
Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных чисел. Эта формула связывает алгебраическое понятие размерности образа с численной диагностикой зависимости строк и столбцов.
Спектральная норма матрицы равна ее наибольшему сингулярному числу. Она показывает максимальный коэффициент растяжения вектора при действии линейного отображения.
Квадрат нормы Фробениуса равен следу матрицы A^T A, сумме квадратов всех элементов и сумме квадратов сингулярных чисел. Это удобная мера общего размера матрицы.
След произведения матриц не меняется при циклической перестановке множителей, если все произведения определены. Это свойство помогает упрощать доказательства, производные матричных функций и выражения с нормами.
Дополнение Шура выражает эффективный блок матрицы после исключения другого блока. Оно появляется при блочном обращении матриц, решении систем, вычислении определителей и условных распределениях в статистике.
Формула обращает блочную матрицу через обратный блок A и обратное дополнение Шура. Она показывает, как получить обратную матрицу без обращения всей матрицы целиком.
Лемма об определителе показывает, как меняется определитель обратимой матрицы при ранговом обновлении uv^T. Вместо пересчета всего определителя достаточно вычислить один скаляр.
Формула Шермана-Моррисона дает обратную матрицу после рангового обновления A+uv^T. Она позволяет обновить уже известную обратную матрицу без полного повторного обращения.
Формула Вудбери обобщает обновление обратной матрицы на добавку малого ранга UCV. Она позволяет заменить обращение большой матрицы обращением меньшей матрицы.
Свойства степеней и корней позволяют заменять произведения, частные и корни выражениями со степенями. Это базовый язык алгебраических преобразований в школьной математике.
Формулы сокращенного умножения позволяют быстро раскрывать скобки и раскладывать выражения на множители. Они являются основой преобразования многочленов.
Квадратный трехчлен можно разложить на множители через его корни, если корни существуют. Формула связывает стандартный вид многочлена с точками, где он обращается в ноль.
Модуль числа равен расстоянию от этого числа до нуля на координатной прямой. По определению он равен самому числу для x≥0 и противоположному числу для x<0.
Для арифметической прогрессии n-й член находится через первый член и разность, а сумма первых n членов равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на n.
Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного угла, а тангенс выражается как отношение синуса к косинусу. Эти формулы лежат в основе преобразований.
Площадь треугольника равна половине произведения выбранного основания на высоту, опущенную к этому основанию. Формула является одной из главных в планиметрии.
Линейное уравнение с одной переменной имеет вид ax+b=0 и при a≠0 решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при переменной.
Основное свойство пропорции говорит: если две дроби равны, то произведение крайних членов равно произведению средних. Это главный способ решать пропорции с неизвестным.
Процент от числа показывает, какая часть величины соответствует p сотым долям. Формула переводит проценты в дробь и умножает эту дробь на исходное число.
Число по его проценту находят, когда известна часть b и известно, что эта часть составляет p% от целого. Формула восстанавливает исходное целое делением на долю.
Процентное изменение показывает, на сколько процентов новая величина b отличается от исходной величины a. Знак результата показывает рост или уменьшение.
Среднее арифметическое равно сумме всех значений, деленной на их количество. Оно показывает, какое одинаковое значение пришлось бы на каждый объект при равномерном распределении суммы.
Медиана - это центральное значение упорядоченного набора. При нечетном количестве чисел берут средний элемент, при четном - среднее двух центральных.
Масштаб показывает отношение длины на чертеже к соответствующей реальной длине. Он позволяет уменьшать или увеличивать изображение без изменения формы объекта.
Формулы движения связывают расстояние, скорость и время при равномерном движении. Зная две величины, можно найти третью.
В задачах на работу объем выполненной работы равен производительности, умноженной на время. Формула похожа на связь пути, скорости и времени.
Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 показывает, сколько действительных корней может иметь уравнение и какие дальнейшие действия нужны.
Формула корней квадратного уравнения находит значения x, при которых ax^2 + bx + c обращается в ноль. Она использует дискриминант и коэффициенты уравнения.
Теорема Виета связывает сумму и произведение корней квадратного уравнения с его коэффициентами. Для приведенного уравнения сумма равна -p, произведение равно q.
Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению их квадратных корней. Условия a >= 0 и b >= 0 обязательны в действительных числах.
Квадратный корень из дроби равен дроби из квадратных корней числителя и знаменателя, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен.
Степень с отрицательным целым показателем означает обратную величину к степени с положительным показателем. Основание при этом не должно быть нулем.
Обратная пропорциональность задает зависимость, при которой произведение x и y постоянно. Если одна величина увеличивается, другая уменьшается во столько же раз.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Формула учитывает две параллельные стороны и расстояние между ними.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Формула удобна, когда известны обе диагонали, а высота или сторона не даны.
