Математика, страница 7

$\dim\ker A=n-\operatorname{rank}A$

$\ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}$

$\operatorname{Im}T=\{T(v)\mid v\in V\}$

$\operatorname{rank}T=\dim\operatorname{Im}T$

$\operatorname{def}T=\dim\ker T$

$\dim V=\operatorname{rank}T+\dim\ker T$

$T\text{ injective}\iff\ker T=\{0\}$

$T\text{ surjective}\iff\operatorname{Im}T=W$

$\dim\ker A=n-r,\quad \dim\operatorname{Im}A=r$

$B=(e_1,\ldots,e_n),\quad V=\operatorname{span}B,\quad e_1,\ldots,e_n\ \text{линейно независимы}$

$v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n,\quad [v]_B=(x_1,\ldots,x_n)^T$

$\dim V=n\quad\Longleftrightarrow\quad \text{любой базис }V\text{ содержит }n\text{ векторов}$

$A=[v_1\ \cdots\ v_n],\quad v_1,\ldots,v_n\text{ - базис }\mathbb R^n\Longleftrightarrow \det A\ne0$

$v=P_B[v]_B,\quad P_B=[e_1\ \cdots\ e_n]$

$[v]_C=P_C^{-1}P_B[v]_B$

$[T]_C=S^{-1}[T]_B S,\quad [v]_B=S[v]_C$

$L\text{ независим},\ G\text{ порождает }V\quad\Rightarrow\quad |L|\le |G|$

$T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$

$T(x)=Ax,\quad A=\big[T(e_1)\ \cdots\ T(e_n)\big]$

$A e_j=a_j=T(e_j)$

$[T(v)]_C=A_{C\leftarrow B}[v]_B,\quad A_{C\leftarrow B}=\big[[T(b_1)]_C\ \cdots\ [T(b_n)]_C\big]$

$[S\circ T]=[S][T]$

$\operatorname{Id}_V(v)=v,\quad [\operatorname{Id}_V]_{B\leftarrow B}=I_n$

$T^{-1}\text{ существует }\Longleftrightarrow A^{-1}\text{ существует},\quad [T^{-1}]=A^{-1}$

$T:V\to V,\quad [T]_B=A\in M_n(F),\quad [T(v)]_B=A[v]_B$

$f(v)=r[v]_B,\quad r=\big(f(b_1),\ldots,f(b_n)\big)$

$Av=\lambda v,\quad v\ne0$

$\det(A-\lambda I)=0$

$p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$

$E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$

$p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^k q(\lambda),\quad q(\lambda_0)\ne0$

$g(\lambda)=\dim E_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)$

$\sigma(A)=\{\lambda:\det(A-\lambda I)=0\}$

$\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}(A)$

$\lambda_1\cdots\lambda_n=\det(A)$

$A=PDP^{-1}$

$B=(v_1,\ldots,v_n),\quad Av_i=\lambda_i v_i$

$A\text{ диагонализируема}\Longleftrightarrow \sum_{\lambda\in\sigma(A)}\dim E_\lambda=n$

$\lambda_1,\ldots,\lambda_n\text{ различны}\Longrightarrow A\text{ диагонализируема}$

$A=P\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}P^{-1}$

$A^k=PD^kP^{-1},\quad D^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)$

$f(A)=P f(D) P^{-1},\quad f(D)=\operatorname{diag}(f(\lambda_1),\ldots,f(\lambda_n))$

$J=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix},\quad \dim E_\lambda=1<2$

$[T]_B=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$

$u\cdot v=0$

$\|v\|=\sqrt{v\cdot v}$

$e_i\cdot e_j=\delta_{ij}$

$x=\sum_{i=1}^{n}(x\cdot e_i)e_i$

$\operatorname{proj}_{u}v=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u$

$\operatorname{proj}_{W}x=\sum_{i=1}^{k}(x\cdot q_i)q_i$

$P=QQ^{T},\quad Q^{T}Q=I$

$W^{\perp}=\{x:\ x\cdot w=0\ \text{для всех }w\in W\},\quad \dim W+\dim W^{\perp}=n$

$Q^{T}Q=I,\quad Q^{-1}=Q^{T}$

$\operatorname{dist}(x,W)=\|x-\operatorname{proj}_{W}x\|$

$\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{u^{\top}v}{u^{\top}u}\,u$

$v=\operatorname{proj}_{u}(v)+\left(v-\operatorname{proj}_{u}(v)\right),\quad u^{\top}\left(v-\operatorname{proj}_{u}(v)\right)=0$

$q_1=\frac{a_1}{\|a_1\|}$

$u_k=a_k-\sum_{j=1}^{k-1}(q_j^{\top}a_k)\,q_j,\quad q_k=\frac{u_k}{\|u_k\|}$

$R_{ij}=q_i^{\top}a_j,\quad a_j=\sum_{i=1}^{j}R_{ij}q_i,\quad R_{ij}=0\ (i>j)$

$A = QR,\quad Q^{\top}Q=I_r,\quad R \text{ верхнетреугольная}$