Математика, страница 4

$b_n=b_1 q^{n-1}$

$S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1},\quad q\ne1$

$P(A)=\frac{m}{n}$

$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

$c^2 = a^2 + b^2$

$S = \frac{1}{2}ah$

$S = ah$

$S = \frac{a + b}{2}h$

$S = \frac{d_1d_2}{2}$

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\quad x_1x_2 = \frac{c}{a}$

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b},\quad a \ge 0,\ b \ge 0$

$\tan \alpha = \frac{a}{b}$

$m = \frac{a}{2}$

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

$P\left(\frac{n x_1+m x_2}{m+n},\frac{n y_1+m y_2}{m+n}\right),\quad AP:PB=m:n$

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A)$

$\|a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$

$a\cdot b=a_x b_x+a_y b_y$

$\cos\varphi=\frac{a_xb_x+a_yb_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2}}$

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}},\quad Ax+By+C=0$

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$

$(x_1-a)(x-a_0)+(y_1-b)(y-b_0)=R^2$

$\Delta=(A^2+B^2)R^2-(A x_0+B y_0+C)^2$

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\ a\ge b>0$

$c=\sqrt{a^2-b^2},\quad e=\frac{c}{a}$

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

$y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)$

$y-k = a(x-h)^2$

$\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=\left|\frac{Ax+B y+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

$\vec{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

$\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$

$\sin\alpha=\frac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec n||\vec v|}$

$\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{array}\right.$

$d=\frac{|(\vec r_0-\vec r_1)\times\vec v|}{|\vec v|}$

$V=|\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)|$

$V=\left|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\right|=0$

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

$\delta=B^2-4AC:\quad \delta<0\ \text{эллиптический тип},\ \delta=0\ \text{параболический тип},\ \delta>0\ \text{гиперболический тип}$

$\begin{cases}2Ah + Bk + D = 0\\Bh + 2Ck + E = 0\end{cases}$

$\tan 2\theta = \frac{B}{A-C}$

$x=X+h,\ y=Y+k;\quad AX^2+BXY+CY^2+J=0$

$\lambda_1U^2+\lambda_2V^2+J=0,\quad \lambda_1,\lambda_2>0,\ J<0,\quad a_i^2=\frac{-J}{\lambda_i}$

$\lambda_+U^2+\lambda_-V^2+J=0,\quad \lambda_+>0,\lambda_-<0,\quad a^2=\frac{|J|}{|\lambda_+|},\ b^2=\frac{|J|}{|\lambda_-|}$

$(Y-k)^2=2p(X-h)\quad \text{или}\quad (X-h)^2=2p(Y-k)$

$\Delta = \left|\begin{matrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{matrix}\right| = 0$

$A'+C'=A+C=\operatorname{tr}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}$

$\left|\begin{matrix}x & y & z & 1\\x_1 & y_1 & z_1 & 1\\x_2 & y_2 & z_2 & 1\\x_3 & y_3 & z_3 & 1\end{matrix}\right|=0$

$\vec n=(\overrightarrow{AB})\times(\overrightarrow{AC})$

$t= -\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A l + B m + C n},\quad x=x_0+lt,\ y=y_0+mt,\ z=z_0+nt$