Все формулы РФ

Предмет

Математика, страница 3

Формулы по алгебре, геометрии, тригонометрии, началам анализа и вероятности.

603 формулы

Все формулы раздела

Показаны 121-180 из 603. Остальные формулы доступны на соседних страницах раздела.

Вычитание многочленов

При вычитании многочлена нужно изменить знаки всех его членов, а затем привести подобные слагаемые. Она уточняет, какие величины входят в запись P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x)) и какой результат получают после подстановки.

$P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x))$

Углы при параллельных прямых и секущей

При параллельных прямых и секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние углы в сумме дают 180 градусов.

$a\parallel b\Rightarrow \alpha=\beta,\quad \gamma+\delta=180^\circ$

Признак параллельности прямых по углам

Если при пересечении двух прямых секущей равны накрест лежащие или соответственные углы, прямые параллельны; то же верно при сумме односторонних углов 180 градусов.

$\alpha=\beta\Rightarrow a\parallel b,\quad \gamma+\delta=180^\circ\Rightarrow a\parallel b$

Неравенство треугольника

В любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны. Это условие проверяет, можно ли построить треугольник по трем отрезкам.

$a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a$

Сумма острых углов прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90 градусов, потому что третий угол уже равен 90 градусам. Она уточняет, какие величины входят в запись \alpha+\beta=90^\circ и какой результат получают после подстановки.

$\alpha+\beta=90^\circ$

Периметр равнобедренного треугольника

Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне плюс основание. Формула использует равенство двух боковых сторон. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

$P=2a+b$

Нулевая степень ненулевого числа

Нулевая степень любого ненулевого числа равна единице. Условие a не равно нулю обязательно: выражение 0^0 в школьной алгебре не считают определенным. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

$a^0=1,\quad a\ne0$

Одночлен в стандартном виде

Стандартный вид одночлена записывает числовой коэффициент первым, а одинаковые буквенные множители объединяет в степени с натуральными показателями. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

$c\,x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_k^{\alpha_k}$

Коэффициент одночлена

Коэффициент одночлена — это числовой множитель в его стандартном виде. Он показывает, во сколько раз взята буквенная часть, включая знак выражения. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

$A=c\,x_1^{\alpha_1}\cdots x_k^{\alpha_k}\quad\Rightarrow\quad c\text{ — коэффициент}$

Угол между биссектрисами смежных углов

Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны. Их угол равен 90 градусам, потому что смежные углы в сумме дают 180 градусов. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

$\frac{\alpha}{2}+\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ$

Линейная функция по коэффициентам k и b

Линейная функция y=kx+b задает прямую: коэффициент k отвечает за наклон графика, а b показывает точку пересечения с осью Oy. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

$y=kx+b$

Точка пересечения двух прямых

Точку пересечения двух прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2 находят приравниванием правых частей. Абсцисса равна (b2-b1)/(k1-k2), если k1 не равно k2. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

$k_1x+b_1=k_2x+b_2,\quad x=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}$

Первый признак равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников утверждает: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, треугольники равны.

$AB=A_1B_1,\ AC=A_1C_1,\ \angle A=\angle A_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$

Второй признак равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников использует сторону и два прилежащих к ней угла. Такой набор однозначно задает треугольник. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

$AB=A_1B_1,\ \angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$

Третий признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников утверждает: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, треугольники равны. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

$AB=A_1B_1,\ BC=B_1C_1,\ AC=A_1C_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$

Нуль линейной функции y = kx + b

Нуль линейной функции - это такое значение аргумента, при котором y становится равным нулю. Для y = kx + b его находят по формуле x0 = -b/k. Она связывает запись функции.

$x_0 = -\frac{b}{k},\quad k \ne 0$

Пересечение линейной функции с осью Oy

График линейной функции y = kx + b пересекает ось Oy в точке с абсциссой 0 и ординатой b. Свободный член сразу показывает высоту этой точки. Она связывает запись функции.

$x=0,\quad y=b$

Разность значений линейной функции

У линейной функции изменение значения равно коэффициенту k, умноженному на изменение аргумента. Свободный член при вычитании исчезает. Она связывает запись функции или ур.

$y_2-y_1=k(x_2-x_1)$

Биссектриса угла и половина градусной меры

Биссектриса делит угол на два равных угла. Если весь угол равен alpha, каждый из получившихся углов равен alpha/2. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин.

$\beta=\frac{\alpha}{2}$

Степень числа минус один

Степень числа -1 зависит от четности показателя: при четном показателе результат равен 1, при нечетном - остается -1. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения.

$(-1)^n=\begin{cases}1, & n\text{ четное},\\-1, & n\text{ нечетное}.\end{cases}$

Произведение множителей вида x + a и x + b

Произведение двух линейных множителей с одинаковым первым членом раскрывается в квадратный трехчлен: коэффициент при x равен сумме a и b, свободный член - их произведению.

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

Ордината точки линейного уравнения с двумя переменными

Если точка удовлетворяет уравнению ax + by = c и известна ее абсцисса x, ординату y находят по формуле y = (c - ax)/b. Она связывает запись функции или уравнения с координатами точки и помогает проверить результат обратной подстановкой.

$y=\frac{c-ax}{b},\quad b\ne0$

Угол равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому все внутренние углы равны и каждый из них составляет 60 градусов. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин.

$\alpha=60^\circ$

Периметр равностороннего треугольника

Периметр равностороннего треугольника равен утроенной стороне, потому что все три его стороны имеют одну и ту же длину. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин.

$P=3a$

Коэффициент произведения одночленов

При умножении одночленов числовые коэффициенты перемножаются отдельно, а буквенные множители объединяются по правилам степеней. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения.

$(c_1M_1)(c_2M_2)=c_1c_2\,M_1M_2$

Степень нуля с натуральным показателем

Ноль в любой натуральной степени равен нулю, потому что произведение содержит хотя бы один нулевой множитель. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения.

$0^n=0,\quad n\in\mathbb{N}$

Третий угол треугольника

Если известны два угла треугольника, третий находят вычитанием их суммы из 180 градусов. Формула следует из теоремы о сумме углов треугольника. Она помогает не подменять.

$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta$

Степень частного двух выражений

Степень частного показывает, что при возведении дроби в натуральную степень отдельно возводят в эту степень числитель и знаменатель. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\quad b\ne0$

Квадрат суммы двух выражений

Квадрат суммы равен квадрату первого выражения, удвоенному произведению выражений и квадрату второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Квадрат разности двух выражений

Квадрат разности равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение выражений плюс квадрат второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов раскладывается в произведение разности выражений и их суммы. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Куб суммы двух выражений

Куб суммы раскрывается в четыре слагаемых: куб первого выражения, два смешанных члена с коэффициентом 3 и куб второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Куб разности двух выражений

Куб разности раскрывается в четыре слагаемых с чередующимися знаками: плюс, минус, плюс, минус. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Сумма кубов двух выражений

Сумма кубов раскладывается на сумму оснований и неполный квадрат разности этих оснований. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Разность кубов двух выражений

Разность кубов раскладывается на разность оснований и неполный квадрат суммы этих оснований. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Координата середины отрезка на прямой

Координата середины отрезка на координатной прямой равна среднему арифметическому координат его концов. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять.

$x_{\text{серед}}=\frac{x_1+x_2}{2}$

Периметр многоугольника через стороны

Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон, взятых в одном порядке обхода фигуры. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять.

$P=a_1+a_2+\dots+a_n$

Арифметический квадратный корень

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен a; определение помогает отличать значение корня от решений уравнения с квадратом.

$\sqrt{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=a,\;x\ge 0,\;a\ge 0$

Квадрат арифметического квадратного корня

Квадрат арифметического квадратного корня возвращает подкоренное выражение, если оно неотрицательно; правило нужно для упрощения радикалов и контроля области допустимых значений.

$(\sqrt{a})^2=a,\quad a\ge 0$

Квадратный корень из частного

Квадратный корень из частного равен частному квадратных корней, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен.

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge 0,\;b>0$

Сложение подобных квадратных корней

Подобные квадратные корни имеют одинаковую подкоренную часть, поэтому складываются их коэффициенты перед корнем; правило помогает упрощать суммы радикалов после вынесения множителей.

$k\sqrt{a}+m\sqrt{a}=(k+m)\sqrt{a},\quad a\ge 0$

Неполное квадратное уравнение x² = a

Уравнение x² = a решается через квадратный корень: при положительном a есть два противоположных корня, при нуле один корень, а при отрицательном a действительных решений нет.

$x^2=a\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{a}\;(a>0),\;x=0\;(a=0)$

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 решается вынесением общего множителя x за скобки; так сразу видны корень x = 0 и корень линейного множителя.

$ax^2+bx=0\quad\Rightarrow\quad x(ax+b)=0$

Корни приведенного квадратного уравнения

Приведенное квадратное уравнение имеет коэффициент 1 при x², поэтому формула корней записывается через p и q и напрямую связывается с теоремой Виета.

$x^2+px+q=0,\quad x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$

Абсцисса вершины параболы

Абсцисса вершины параболы y = ax^2 + bx + c равна -b/(2a) и показывает, при каком x квадратичная функция достигает вершины.

$x_0=-\frac{b}{2a}$

Ордината вершины параболы

Ордината вершины параболы находится подстановкой x0 в квадратичную функцию или по формуле через коэффициенты a, b и c; она дает минимум или максимум функции.

$y_0=f(x_0)=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}$

Ось симметрии параболы

Ось симметрии параболы y = ax^2 + bx + c - вертикальная прямая x = -b/(2a), проходящая через вершину графика и делящая его пополам.

$x=-\frac{b}{2a}$

n-й член арифметической прогрессии

n-й член арифметической прогрессии равен первому члену плюс произведение разности прогрессии на n - 1 шагов от начала последовательности.

$a_n=a_1+(n-1)d$