Предмет
Формулы по алгебре, геометрии, тригонометрии, началам анализа и вероятности.
603 формулы
Показаны 241-300 из 603. Остальные формулы доступны на соседних страницах раздела.
Формула "Направляющий вектор линии пересечения двух плоскостей" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
Формула "Угол между прямыми в пространстве" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно модулю смешанного произведения соединяющего вектора и двух направлений, деленному на длину их векторного произведения.
Если две плоскости параллельны и приведены к одной нормали, расстояние между ними равно модулю разности свободных членов, деленному на длину нормали.
Формула "Проекция точки на плоскость" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
Формула "Отражение точки относительно плоскости" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
Формула "Проекция точки на прямую в пространстве" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
Переход между полярными и декартовыми координатами связывает радиус-вектор и угол точки с ее проекциями на координатные оси.
Расстояние между двумя полярными точками находится по теореме косинусов для треугольника с сторонами r1, r2 и углом между радиусами.
Полярное уравнение прямой задает прямую через расстояние p от полюса до прямой и угол α направления ее нормали, что удобно для задач с лучами и секторами.
Полярное уравнение окружности получается из декартовой окружности с центром (a,b) после подстановки x=r cos φ и y=r sin φ.
Полярная форма коники с фокусом в полюсе описывает эллипс, параболу или гиперболу через эксцентриситет e и фокальный параметр ℓ.
Производная параметрической кривой равна отношению скоростей изменения y и x по параметру t, если dx/dt не равно нулю в рассматриваемой точке.
Касательная к параметрической кривой строится через точку кривой при t0 и наклон, равный отношению y'(t0) к x'(t0), с отдельной проверкой вертикального случая.
Длина дуги параметрической кривой равна интегралу от скорости точки, движущейся по кривой от параметра a до параметра b.
Кривизна параметрической кривой измеряет скорость поворота касательной и выражается через первые и вторые производные координат.
Площадь области в полярных координатах равна половине интеграла квадрата радиуса по углу на выбранном промежутке без повторного обхода области.
Сфера с центром в точке (x0,y0,z0) и радиусом R состоит из всех точек пространства, расстояние от которых до центра равно R.
Сфера по концам диаметра задается условием прямого угла: точка сферы видит отрезок между концами диаметра под углом 90 градусов.
Касательная плоскость к сфере в точке P перпендикулярна радиусу CP, поэтому ее нормалью служит вектор от центра к точке касания.
Эллипсоид является замкнутой квадрикой, у которой все три координатных сечения имеют форму эллипсов или окружностей и ограничивают конечное тело.
Однополостный гиперболоид имеет две положительные квадратичные координаты и одну отрицательную, а его сечения z=const являются эллипсами.
Двуполостный гиперболоид имеет один положительный квадратный член и два отрицательных, поэтому поверхность распадается на две отдельные части.
Эллиптический параболоид раскрывается вдоль одной оси, а его горизонтальные сечения при z>0 являются эллипсами, поэтому поверхность выглядит как чаша.
Гиперболический параболоид является седловой поверхностью: в одном вертикальном сечении он раскрывается вверх, а в другом вниз.
Конус второго порядка является вырожденной квадрикой, у которой сечения z=const дают подобные эллипсы, сходящиеся к вершине.
Цилиндрическая поверхность в пространстве возникает, когда уравнение не содержит одну координату, поэтому плоская кривая протягивается вдоль соответствующей оси.
Перенос начала координат в пространстве заменяет старые координаты точки на новые относительно начала O'(a,b,c), не меняя саму геометрию.
Поворот координат на плоскости описывает координаты той же точки в системе осей, повернутой на угол α относительно старой системы.
Матрица поворота вокруг оси z активно поворачивает точку в плоскости xy на угол θ, оставляя координату z неизменной и сохраняя длины.
Масштабирование координат умножает каждую координату на свой коэффициент и растягивает или сжимает объект вдоль выбранных осей.
Аффинное преобразование точки состоит из линейного преобразования A и последующего сдвига b, сохраняя прямые и отношения точек на одной прямой.
Обратное аффинное преобразование восстанавливает исходную точку из образа, если матрица линейной части A невырождена и обратима.
Барицентрические координаты точки на отрезке выражают точку как взвешенную сумму концов A и B с коэффициентами, сумма которых равна единице.
Барицентрические координаты точки в треугольнике равны отношениям площадей трех малых треугольников к площади исходного треугольника.
Центр масс системы точек является взвешенным средним их радиус-векторов, где весами служат массы или другие положительные коэффициенты.
Ортогональное преобразование сохраняет расстояние между любыми двумя точками, потому что его матрица сохраняет скалярное произведение.
Предел функции в точке фиксирует значение, к которому стремится функция при приближении аргумента к заданному числу. Это базовая запись для всего дальнейшего анализа: она отделяет поведение функции в окрестности точки от ее значения в самой точке.
Односторонние пределы описывают поведение функции только слева или только справа от точки. Они особенно важны для кусочных функций, границ области определения и проверки существования двухстороннего предела.
Предел на бесконечности описывает, к какому числу стремится функция при больших значениях аргумента. Это основной язык для горизонтальных асимптот и для понимания долгосрочного поведения модели.
Бесконечный предел означает, что значения функции неограниченно растут по модулю при приближении аргумента к точке. Это удобно для описания вертикальных асимптот и резких всплесков.
Бесконечно малая функция - это функция, которая стремится к нулю в заданном предельном процессе. Такой язык удобно использовать для оценок, сравнения порядков малости и вывода стандартных пределов.
Это один из главных стандартных пределов математического анализа. Он лежит в основе производной синуса, многих тригонометрических оценок и предельных переходов в начале курса.
Этот предел дает одно из самых известных определений числа e. Он появляется в задачах о росте, сложных процентах, экспоненциальных моделях и анализе малых приращений.
Альгебра пределов дает набор правил, которые позволяют переносить предельный переход через сумму, произведение и частное. Это один из самых практичных инструментов начального анализа.
Непрерывность в точке означает, что предельное значение функции совпадает с ее значением в самой точке. Это первый и самый важный мост от понятия предела к вычислениям и графикам.
Устранимый разрыв возникает, когда предел в точке существует и конечен, но значение функции в самой точке отсутствует или не совпадает с этим пределом. Такой разрыв можно устранить переопределением функции.
Производная в точке задается пределом разностного отношения и описывает мгновенную скорость изменения функции. Без этой предельной записи производная превращается в набор правил, а не в проверяемое понятие.
Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной и связывает анализ с наклоном графика. Поэтому одна и та же величина одновременно читается как скорость изменения и как наклон графика.
Уравнение касательной строится по точке касания и производной в этой точке. Это первая локальная модель функции и основной мост к линейным приближениям.
Нормаль к графику - это прямая, перпендикулярная касательной в точке. Нормаль нужна там, где важно не направление движения вдоль графика, а перпендикулярное направление.
Постоянная не меняется при изменении аргумента, поэтому ее производная равна нулю. Это простейшая строка таблицы производных и важная проверка того, от какой переменной зависит выражение.
Производная степени получается умножением на показатель и уменьшением степени на единицу. Правило степени связывает алгебру многочленов с локальной скоростью изменения функции.
Производная синуса равна косинусу, если аргумент измеряется в радианах. Радианная мера здесь не техническая мелочь, а условие, без которого формула меняет коэффициент.
Производная косинуса равна минус синусу и отражает фазовый сдвиг тригонометрической пары. Знак минус отражает то, что около нуля косинус начинает убывать при движении вправо от максимума.
Экспонента с основанием e является собственной производной: ее темп роста совпадает с ее значением. Это свойство делает экспоненту естественной моделью процессов, где скорость пропорциональна текущему значению.
Производная натурального логарифма равна обратной величине аргумента. Ограничение x>0 в действительном анализе здесь так же важно, как сама формула.
Правило суммы говорит, что производную суммы можно находить по частям: отдельно продифференцировать каждое слагаемое и затем сложить результаты.
Правило разности позволяет находить производную выражения с минусом по частям: производная разности равна разности производных.
Постоянный множитель можно вынести за знак производной: коэффициент перед функцией сохраняется и умножает производную этой функции.
