Математика, страница 6

$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$

$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)},\quad y_0=f(x_0),\ f'(x_0)\ne 0$

$\frac{d}{dx}\ln y=\frac{y'}{y},\quad y'=y\frac{d}{dx}\ln y$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)},\quad F_y(x,y)\ne 0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\quad \frac{dx}{dt}\ne 0$

$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$

$\vec n=(-f'(x_0),1),\quad y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),\quad f'(x_0)\neq 0$

$f'(x)>0\Rightarrow f \text{ возрастает},\qquad f'(x)<0\Rightarrow f \text{ убывает}$

$x_c:\ f'(x_c)=0\ \text{или}\ f'(x_c)\text{ не существует}$

$f'(x_0)=0\quad \text{если }x_0\text{ - внутренняя точка экстремума и }f\text{ дифференцируема в }x_0$

$f'(x):\ +\to-\Rightarrow \text{локальный максимум},\qquad f'(x):\ -\to+\Rightarrow \text{локальный минимум}$

$f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d^2f}{dx^2}$

$f''(x)>0\Rightarrow \text{график выпукл вверх},\qquad f''(x)<0\Rightarrow \text{график выпукл вниз}$

$x_0\text{ - точка перегиба}\iff f''(x)\text{ меняет знак в }x_0$

$D(f)\to f'(x)\to \text{знак }f'\to f''(x)\to \text{знак }f''\to \text{вывод о графике}$

$F'(x)=f(x)$

$\int f(x) \,dx = F(x)+C$

$\int (\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx = \alpha\int f(x)\,dx + \beta\int g(x)\,dx$

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\; n\neq -1$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C$

$\int e^{kx} \,dx = \frac{e^{kx}}{k}+C,\; k\neq 0$

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u=g(x)$

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

$\frac{d}{dx}(F(x)+C)=f(x)$

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a),\quad F'(x)=f(x)$

$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$

$S = \int_a^b f(x)\,dx$

$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx, \quad \int_a^a f(x)dx=0, \quad \int_a^b (f\pm g)dx=\int_a^b fdx \pm \int_a^b gdx$

$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$

$f_{\text{ср}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du,\quad u=g(x)$

$\int_a^b u\,dv = \left.uv\right|_a^b - \int_a^b v\,du$

$\lim_{n \to \infty} a_n = L$

$a_n = a_1 q^{n-1}, \quad n\in\mathbb N$

$\sum_{n=1}^{\infty} a_1 q^{n-1} = \frac{a_1}{1-q}, \quad |q|<1$

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n\text{ сходится }\Rightarrow\lim_{n\to\infty} a_n=0$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \,\,\text{(расходится)}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ сходится }\iff p>1$

$0\le a_n\le b_n,\;\sum b_n\text{ сходится }\Rightarrow\sum a_n\text{ сходится};\;0\le b_n\le a_n,\;\sum b_n\text{ расходится }\Rightarrow\sum a_n\text{ расходится}$

$L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|;\;L<1\Rightarrow\text{абс.схожд};\;L>1\Rightarrow\text{расхожд};\;L=1\text{ не информативно}$

$a_n>0, a_n\downarrow 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ сходится }\iff \sum 2^n a_{2^n} \text{ сходится}$

$\sum a_n\text{ абсолютно сходится}\iff\sum|a_n|\text{ сходится};\;\sum a_n\text{ условно сходится }\iff\sum a_n\text{ сходится, но }\sum|a_n|\text{ расходится}$

$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L \iff \forall \epsilon>0 \exists \delta>0:0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon$

$f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},\quad f_y(a,b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}$

$\nabla f(a,b)=(f_x(a,b), f_y(a,b))$

$D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2,\quad \|\mathbf u\|=1$

$df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy$

$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$

$\nabla f(a,b)=(0,0)$

$D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle$

$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\quad dA_{xy}=|J|dA_{uv}$

$\iint_D f(x,y)\,dA=\lim_{\max\Delta A_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta A_i$

$\iint_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y)\,dy\,dx=\int_c^d\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

$\iiint_G f(x,y,z)\,dV=\lim_{\max \Delta V_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\,\Delta V_i$

$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta$

$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$

$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,\quad dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$