Математика
Алгебра, страница 5
Формулы для уравнений, преобразований, корней, степеней и функций.
244 формулы
Таблица формул
Показаны 241-244 из 244. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Метод Гаусса—Зейделя для системы линейных уравнений | $x_i^{(k+1)}=\frac{b_i-\sum_{j<i}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j>i}a_{ij}x_j^{(k)}}{a_{ii}}$ | Начала анализа | Метод Гаусса—Зейделя решает Ax=b последовательными проходами: новая компонента сразу участвует в вычислении следующих. Это обычно ускоряет простую итерацию, но делает результат одного прохода зависимым от порядка переменных. |
| Метод SOR: последовательная сверхрелаксация | $x_i^{(k+1)}=(1-\omega)x_i^{(k)}+\frac{\omega}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j<i}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j>i}a_{ij}x_j^{(k)}\right)$ | Начала анализа | Метод SOR добавляет к проходу Гаусса—Зейделя параметр релаксации ω. При 0<ω<2 он дозирует поправку; ω=1 возвращает обычный метод, а удачный выбор ω>1 способен ускорить сходимость. |
| Метод прогонки для трёхдиагональной системы | $c_i x_{i-1}+a_i x_i+b_i x_{i+1}=d_i;\quad \alpha_i=-\frac{b_i}{a_i+c_i\alpha_{i-1}},\;\beta_i=\frac{d_i-c_i\beta_{i-1}}{a_i+c_i\alpha_{i-1}}$ | Начала анализа | Метод прогонки решает трёхдиагональную систему за линейное число операций, используя прямой расчёт коэффициентов связи и обратную подстановку. Он сохраняет ленточную структуру вместо работы с полной матрицей. |
| Метод Ричардсона: стационарная итерация для Ax=b | $x^{(k+1)}=x^{(k)}+\tau(b-Ax^{(k)}),\qquad r^{(k)}=b-Ax^{(k)}$ | Начала анализа | Метод Ричардсона прибавляет к текущему приближению невязку, умноженную на параметр τ. Для симметричной положительно определённой матрицы разумный τ превращает эту простую формулу в сходящуюся стационарную итерацию. |