Математика
Алгебра, страница 2
Формулы для уравнений, преобразований, корней, степеней и функций.
175 формул
Таблица формул
Показаны 61-120 из 175. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Квадрат разности двух выражений | $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ | Алгебра | Квадрат разности равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение выражений плюс квадрат второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Разность квадратов двух выражений | $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ | Алгебра | Разность квадратов раскладывается в произведение разности выражений и их суммы. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Куб суммы двух выражений | $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ | Алгебра | Куб суммы раскрывается в четыре слагаемых: куб первого выражения, два смешанных члена с коэффициентом 3 и куб второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Куб разности двух выражений | $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ | Алгебра | Куб разности раскрывается в четыре слагаемых с чередующимися знаками: плюс, минус, плюс, минус. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Сумма кубов двух выражений | $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ | Алгебра | Сумма кубов раскладывается на сумму оснований и неполный квадрат разности этих оснований. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Разность кубов двух выражений | $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ | Алгебра | Разность кубов раскладывается на разность оснований и неполный квадрат суммы этих оснований. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Координата середины отрезка на прямой | $x_{\text{серед}}=\frac{x_1+x_2}{2}$ | Алгебра | Координата середины отрезка на координатной прямой равна среднему арифметическому координат его концов. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять. |
| Арифметический квадратный корень | $\sqrt{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=a,\;x\ge 0,\;a\ge 0$ | Алгебра | Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен a; определение помогает отличать значение корня от решений уравнения с квадратом. |
| Квадрат арифметического квадратного корня | $(\sqrt{a})^2=a,\quad a\ge 0$ | Алгебра | Квадрат арифметического квадратного корня возвращает подкоренное выражение, если оно неотрицательно; правило нужно для упрощения радикалов и контроля области допустимых значений. |
| Квадратный корень из частного | $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge 0,\;b>0$ | Алгебра | Квадратный корень из частного равен частному квадратных корней, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен. |
| Вынесение множителя из-под квадратного корня | $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b},\quad b\ge 0$ | Алгебра | Вынесение множителя из-под корня отделяет полный квадрат внутри подкоренного выражения и превращает его в множитель перед корнем. |
| Внесение множителя под квадратный корень | $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\quad\text{при }a\ge 0,\;b\ge 0$ | Алгебра | Внесение множителя под корень заменяет множитель перед радикалом его квадратом под знаком корня: например, 3\sqrt{5}=\sqrt{45}. |
| Сложение подобных квадратных корней | $k\sqrt{a}+m\sqrt{a}=(k+m)\sqrt{a},\quad a\ge 0$ | Алгебра | Подобные квадратные корни имеют одинаковую подкоренную часть, поэтому складываются их коэффициенты перед корнем; правило помогает упрощать суммы радикалов после вынесения множителей. |
| Неполное квадратное уравнение x² = a | $x^2=a\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{a}\;(a>0),\;x=0\;(a=0)$ | Алгебра | Уравнение x² = a решается через квадратный корень: при положительном a есть два противоположных корня, при нуле один корень, а при отрицательном a действительных решений нет. |
| Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 | $ax^2+bx=0\quad\Rightarrow\quad x(ax+b)=0$ | Алгебра | Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 решается вынесением общего множителя x за скобки; так сразу видны корень x = 0 и корень линейного множителя. |
| Корни приведенного квадратного уравнения | $x^2+px+q=0,\quad x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$ | Алгебра | Приведенное квадратное уравнение имеет коэффициент 1 при x², поэтому формула корней записывается через p и q и напрямую связывается с теоремой Виета. |
| Разложение квадратного трехчлена на множители | $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ | Алгебра | Если x_1 и x_2 - корни уравнения ax^2+bx+c=0, то трехчлен обращается в ноль при x=x_1 и x=x_2, поэтому записывается как a(x-x_1)(x-x_2). |
| n-й член арифметической прогрессии | $a_n=a_1+(n-1)d$ | Алгебра | n-й член арифметической прогрессии равен первому члену плюс произведение разности прогрессии на n - 1 шагов от начала последовательности. |
| Сумма первых n членов арифметической прогрессии | $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ | Алгебра | Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна среднему арифметическому первого и n-го членов, умноженному на число членов. |
| n-й член геометрической прогрессии | $b_n=b_1 q^{n-1}$ | Алгебра | n-й член геометрической прогрессии равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии в степени n - 1, то есть после n - 1 одинаковых умножений. |
| Сумма первых n членов геометрической прогрессии | $S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1},\quad q\ne1$ | Алгебра | Сумма первых n членов геометрической прогрессии выражается через первый член, знаменатель q и число членов n, если q не равен 1. |
| Теорема Виета для квадратного уравнения | $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\quad x_1x_2 = \frac{c}{a}$ | Алгебра | Теорема Виета выражает сумму и произведение корней квадратного уравнения через его коэффициенты без отдельного вычисления каждого корня. |
| Квадрат суммы | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ | Алгебра | Квадрат суммы раскрывается как квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение выражений плюс квадрат второго выражения. |
| Квадрат разности | $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ | Алгебра | Квадрат разности раскрывается как квадрат первого выражения, минус удвоенное произведение выражений, плюс квадрат второго выражения. |
| Разность квадратов | $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ | Алгебра | Разность квадратов раскладывается на два множителя: разность оснований и сумму тех же оснований. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Свойство квадратного корня из произведения | $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b},\quad a \ge 0,\ b \ge 0$ | Алгебра | Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей можно заменить произведением квадратных корней из этих множителей. |
| Уравнение окружности в канонической форме | $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ | Прямые, плоскости | Каноническая форма окружности прямо задает все ее параметры через центр и радиус: центр (a, b), радиус R. Эта запись удобна для проверки принадлежности точки и быстрых преобразований уравнений. |
| Уравнение окружности по центру и радиусу | $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ | Прямые, плоскости | Эта формула показывает, как получить уравнение окружности, если известны центр и радиус. Переписывать в развернутую форму обычно не нужно до появления задачи на пересечения с прямой или касательные. |
| Уравнение касательной к окружности в заданной точке | $(x_1-a)(x-a_0)+(y_1-b)(y-b_0)=R^2$ | Прямые, плоскости | Уравнение касательной к окружности строится через радиус к точке касания: радиус и касательная перпендикулярны. Формула удобна для получения касательной сразу из центра и точки на окружности. |
| Дискриминант пересечения окружности и прямой | $\Delta=(A^2+B^2)R^2-(A x_0+B y_0+C)^2$ | Прямые, плоскости | Сравнение числа пересечений окружности и прямой удобно делать через знак дискриминанта квадратного уравнения после подстановки. Положительный, нулевой и нулевой/отрицательный знак дают две, одну или нулевую точку пересечения. |
| Каноническое уравнение эллипса | $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\ a\ge b>0$ | Прямые, плоскости | Канонический вид описывает эллипс через полуоси a и b и центр (h,k): точки с постоянной суммой расстояний до фокусов формируют замкнутую кривую. |
| Расстояние от центра до фокуса эллипса | $c=\sqrt{a^2-b^2},\quad e=\frac{c}{a}$ | Прямые, плоскости | Для эллипса параметры фокусов определяются через полуоси: расстояние от центра до фокуса c и эксцентриситет e описывают форму и вытянутость кривой. |
| Каноническое уравнение гиперболы | $\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ | Прямые, плоскости | Канонический вид горизонтальной гиперболы задает ее оси симметрии через h,k и полуоси a,b. По знаку между дробями выбирается открытие ветвей по горизонтали или вертикали. |
| Асимптоты гиперболы в канонических координатах | $y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)$ | Прямые, плоскости | Асимптоты описывают направление ветвей гиперболы и ее поведение на бесконечности. Это линейные прямые, к которым график гиперболы приближается. |
| Каноническое уравнение параболы | $y-k = a(x-h)^2$ | Прямые, плоскости | Каноническая запись параболы связывает ее вершину (h,k) и параметр раскрытия a. При знаке a определяется направление ветвей по оси y. |
| Парабола через фокус и директрису | $\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=\left|\frac{Ax+B y+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$ | Прямые, плоскости | Определение параболы через фокус и директрису: расстояние от точки кривой до фокуса равно расстоянию от точки до директрисы. Это формула-идея для построения и проверки уравнения параболы. |
| Расстояние между двумя точками в пространстве | $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ | Прямые, плоскости | Расстояние между точками A и B в трехмерной системе координат находится как длина разностного вектора координат по всем осям. |
| Вектор между двумя точками в пространстве | $\vec{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ | Прямые, плоскости | Вектор между точками A и B в 3D строится как разность их координат по каждой оси. Формула "Вектор между двумя точками в пространстве" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Уравнение плоскости по точке и нормали | $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ | Прямые, плоскости | Плоскость в пространстве задается координатами точки на ней и нормальным вектором, перпендикулярным плоскости. Формула "Уравнение плоскости по точке и нормали" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Расстояние от точки до плоскости | $d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ | Прямые, плоскости | Расстояние от точки до плоскости вычисляется как отношение модуля подстановки точки в уравнение плоскости к длине нормали. |
| Угол между двумя плоскостями | $\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$ | Прямые, плоскости | Острый угол между плоскостями равен углу между их нормалями, для которого используется скалярное произведение. Формула "Угол между двумя плоскостями" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Угол между прямой и плоскостью | $\sin\alpha=\frac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec n||\vec v|}$ | Прямые, плоскости | Угол между прямой и плоскостью определяется через нормаль плоскости и направляющий вектор прямой. Формула "Угол между прямой и плоскостью" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Параметрическое уравнение прямой в пространстве | $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{array}\right.$ | Прямые, плоскости | Прямая в 3D задается координатами любой ее точки и направляющим вектором, параметр t указывает удаление вдоль направления. |
| Расстояние от точки до прямой в пространстве | $d=\frac{|(\vec r_0-\vec r_1)\times\vec v|}{|\vec v|}$ | Прямые, плоскости | Минимальное расстояние от точки до прямой в 3D равно норме векторного произведения между радиус-вектором до одной точки прямой и направляющим вектором, деленной на длину направления. |
| Объем параллелепипеда через смешанное произведение | $V=|\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)|$ | Прямые, плоскости | Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен модулю скалярного тройного произведения. Формула "Объем параллелепипеда через смешанное произведение" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Компланарность четырех точек через смешанное произведение | $V=\left|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\right|=0$ | Прямые, плоскости | Четыре точки A, B, C, D лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда смешанное произведение соответствующих трех направляющих векторов равно нулю. |
| Общее уравнение кривой второго порядка | $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ | Прямые, плоскости | Общее уравнение второй степени на плоскости объединяет уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы до поворота и переноса координат. |
| Классификация коники по дискриминанту | $\delta=B^2-4AC:\quad \delta<0\ \text{эллиптический тип},\ \delta=0\ \text{параболический тип},\ \delta>0\ \text{гиперболический тип}$ | Прямые, плоскости | Знак B^2-4AC однозначно определяет тип коники после удаления сдвига и поворота, если кривая не вырождена. Формула "Классификация коники по дискриминанту" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов. |
| Центр коники из линейной системы | $\begin{cases}2Ah + Bk + D = 0\\Bh + 2Ck + E = 0\end{cases}$ | Прямые, плоскости | Для коник с A^2 + AC + C^2 > 0 центр (h,k) находится как решение линейной системы, обнуляющей линейные члены после переноса. |
| Угол поворота осей для устранения члена xy | $\tan 2\theta = \frac{B}{A-C}$ | Прямые, плоскости | Поворотом на угол θ убирается смешанный член xy в квадратичной форме второго порядка. Формула "Угол поворота осей для устранения члена xy" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов. |
| Перенос начала координат в центр коники | $x=X+h,\ y=Y+k;\quad AX^2+BXY+CY^2+J=0$ | Прямые, плоскости | После нахождения центра (h,k) подстановка x=X+h, y=Y+k удаляет линейные члены X и Y. Формула "Перенос начала координат в центр коники" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов. |
| Критерий вырожденной коники через определитель | $\Delta = \left|\begin{matrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{matrix}\right| = 0$ | Прямые, плоскости | Если детерминант квадратичной формы с линейными и свободным членом равен нулю, возможна вырождённая коника (две прямые, точка, пустое множество). |
| Инвариант следа квадратичной части коники | $A'+C'=A+C=\operatorname{tr}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}$ | Прямые, плоскости | След квадратичной формы сохраняется при ортогональном повороте; после диагонализации это удобно как контроль правильности вычислений. |
| Альгебра пределов | $\lim_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x),\qquad \lim_{x\to a}(f(x)g(x))=\left(\lim_{x\to a}f(x)\right)\left(\lim_{x\to a}g(x)\right),\qquad \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}$ | Пределы, ряды | Альгебра пределов дает набор правил, которые позволяют переносить предельный переход через сумму, произведение и частное. Это один из самых практичных инструментов начального анализа. |
| Предел функции двух переменных в точке | $\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L \iff \forall \epsilon>0 \exists \delta>0:0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon$ | Пределы, ряды | Предел функции двух переменных описывает число, к которому стремится f(x,y), когда точка (x,y) приближается к (a,b) по любому допустимому пути в плоскости. |
| Частные производные функции двух переменных | $f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},\quad f_y(a,b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}$ | Пределы, ряды | Частная производная показывает скорость изменения функции по одной переменной при фиксированной второй переменной, то есть локальный наклон сечения поверхности. |
| Градиент функции двух переменных | $\nabla f(a,b)=(f_x(a,b), f_y(a,b))$ | Пределы, ряды | Градиент собирает частные производные в вектор и показывает направление наибольшего локального роста функции двух переменных. |
| Направленная производная через градиент | $D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2,\quad \|\mathbf u\|=1$ | Пределы, ряды | Направленная производная измеряет скорость изменения функции в выбранном направлении и выражается через скалярное произведение градиента на единичный вектор. |
| Полный дифференциал функции двух переменных | $df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy$ | Пределы, ряды | Полный дифференциал функции двух переменных показывает, как по формуле df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy получить проверяемый результат из исходных данных. В материале уточнены обозначения, условия применения и типовые ошибки при подстановке. |
| Касательная плоскость к графику z=f(x,y) | $z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$ | Пределы, ряды | Касательная плоскость к графику z=f(x,y) дает линейное приближение поверхности около точки через значения частных производных. |