Математика / Алгебра

Сумма кубов двух выражений

Сумма кубов раскладывается на сумму оснований и неполный квадрат разности этих оснований. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

Обозначения

$a$: основание первого куба
$b$: основание второго куба

Условия применения

Оба слагаемых должны быть представлены как кубы выражений.
Между кубами стоит знак плюс.
Формула используется над обычными числовыми и алгебраическими выражениями.

Ограничения

Второй множитель a^2-ab+b^2 не является квадратом разности: у него нет коэффициента 2 перед ab.
Нельзя применять формулу к сумме квадратов или к произвольной сумме степеней.
Если кубы не распознаются сразу, нужно сначала выделить основания a и b.

Подробное объяснение

Сумма кубов превращает два кубических слагаемых в произведение линейного множителя и квадратного трехчлена. Линейный множитель a+b показывает, что если подставить a=-b, сумма кубов обращается в ноль, значит a+b действительно является множителем.

Проверка формулы выполняется раскрытием скобок: (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3. Средние члены попарно сокращаются, и остаются только a^3 и b^3. Знаки во втором множителе подобраны именно для такого сокращения.

Второй множитель называют неполным квадратом разности, потому что он похож на a^2-2ab+b^2, но средний коэффициент равен -1, а не -2. Поэтому его нельзя сворачивать в (a-b)^2. Это частая ловушка при разложении.

В задачах формула полезна, когда выражение содержит кубы: x^3+27, 8m^3+n^3, 64-y^3 с другим знаком. Сначала находят основания кубов, затем записывают два множителя. После разложения можно сокращать дроби или искать значения переменной.

От куба суммы эта формула отличается тем, что исходно нет смешанных членов. Куб суммы раскрывается в четыре слагаемых, а сумма кубов раскладывает два слагаемых на множители.

Эта формула работает как тождество: левая и правая части равны при любых допустимых значениях переменных. Поэтому ее можно применять в обе стороны, но только после распознавания структуры. В записи a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) важны все коэффициенты, показатели и знаки; изменение хотя бы одного из них обычно дает уже другую формулу и другой результат.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что оба члена выражения являются кубами.
Найдите основания кубов a и b.
Запишите первый множитель как a + b.
Запишите второй множитель как a^2 - ab + b^2.
Проверьте знаки во втором множителе обратным раскрытием.

Историческая справка

Тождества для суммы и разности кубов известны как часть классических преобразований многочленов. Их можно получить алгебраическим делением a^3+b^3 на a+b или увидеть через систематическое умножение скобок. Исторически такие формулы стали особенно удобны после распространения буквенной символики, когда общие правила можно было записывать один раз для любых чисел и выражений. В школьной традиции формулы кубов показывают, что разложение на множители не ограничивается вынесением общего множителя и разностью квадратов, а опирается на узнавание структуры степеней. В российских и европейских школьных курсах такие тождества окончательно закрепились как обязательный язык преобразования выражений в XIX-XX веках, когда алгебра стала массовым учебным предметом. Учебники выделили их в отдельный блок, потому что одни и те же структуры постоянно появляются при умножении многочленов, разложении на множители и решении уравнений. Поэтому современная формула одновременно хранит старую идею вычисления и служит практическим алгоритмом для школьной задачи.

Историческая линия формулы

Формула не имеет персонального автора. Она принадлежит к общей алгебраической традиции работы с многочленами и может рассматриваться как частный случай разложения суммы нечетных степеней. В учебной атрибуции формулу относят не к одному имени, а к традиции элементарной алгебры: она следует из правил действий с многочленами, степенями и распределительного закона.

Пример

Задача: разложить на множители 8x^3 + 125. Дано: 8x^3 = (2x)^3, 125 = 5^3. Значит a = 2x, b = 5. Подставляем в формулу: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). Получаем 8x^3 + 125 = (2x + 5)((2x)^2 - (2x)*5 + 5^2) = (2x + 5)(4x^2 - 10x + 25). Ответ: (2x + 5)(4x^2 - 10x + 25). Проверка раскрытием: 8x^3 - 20x^2 + 50x + 20x^2 - 50x + 125 = 8x^3 + 125. Дополнительная проверка выполняется обратным действием: раскрываем полученные скобки или подставляем простое значение переменной, например 1 или 2. Если обе части дают одно и то же число, структура формулы выбрана верно. Такая проверка особенно полезна, когда в выражении есть коэффициенты, степени или отрицательные знаки. Если подставить еще одно значение переменной, равенство снова сохраняется, потому что формула является тождеством.

Частая ошибка

Часто второй множитель ошибочно записывают как a^2+ab+b^2 или как (a-b)^2. Еще одна ошибка - неверно извлечь куб из коэффициента: 8x^3 имеет основание 2x. Иногда формулу путают с кубом суммы и добавляют смешанные члены в исходное выражение. Нужно помнить: сумма кубов стартует с двух слагаемых, а куб суммы раскрывается в четыре. Хорошая защита от ошибки - сначала записать роли a и b или всех сторон словами. После этого легче увидеть, где должен стоять квадрат, коэффициент 2 или 3, знак минус либо сумма всех нужных частей.

Практика

Задачи с решением

Разложить сумму кубов

Условие. Разложите x^3 + 8 на множители.

Решение. 8 = 2^3, значит x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4).

Ответ. (x + 2)(x^2 - 2x + 4)

Найти основания кубов

Условие. Разложите 27a^3 + b^3.

Решение. 27a^3 = (3a)^3. Тогда a формулы равен 3a, b формулы равен b: (3a+b)(9a^2-3ab+b^2).

Ответ. (3a+b)(9a^2-3ab+b^2)

Дополнительные источники

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Сумма и разность кубов
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Формулы сокращенного умножения
ФИПИ. ОГЭ по математике: разложение многочленов на множители

Связанные формулы

Математика

Вынесение общего множителя за скобки

$ab + ac = a(b + c)$

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.

Математика

Разложение многочлена группировкой

$ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$

Разложение группировкой помогает разложить многочлен на множители, если общий множитель виден не сразу во всех членах, но появляется после объединения слагаемых в пары или группы.

Математика

Умножение многочлена на многочлен

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.

Математика

Степень степени

$(a^m)^n = a^{mn}$

При возведении степени в степень основание сохраняют, а показатели перемножают, потому что число одинаковых множителей повторяется группами.

Математика

Равносильные преобразования уравнения

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

Математика

Приведение подобных слагаемых

$ka + ma = (k + m)a$

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.