Математика / Алгебра

Куб разности двух выражений

Куб разности раскрывается в четыре слагаемых с чередующимися знаками: плюс, минус, плюс, минус. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

Обозначения

$a$: первое выражение в разности
$b$: вычитаемое выражение

Условия применения

В куб возводится вся разность a - b.
Выражения a и b подставляют целиком, особенно если это одночлены с коэффициентами.
Формула применяется при обычных правилах сложения, умножения и возведения в степень.

Ограничения

Нельзя заменять куб разности на a^3-b^3: нужны смешанные члены.
При подстановке отрицательного b удобнее сначала упростить знак внутри скобки.
В задачах на разложение нужно проверять оба средних члена, а не только крайние кубы.

Подробное объяснение

Куб разности описывает произведение (a-b)(a-b)(a-b). В результате появляются те же типы членов, что и в кубе суммы, но знаки меняются из-за отрицательного второго слагаемого. Члены с нечетной степенью b получают минус, а член с b^2 остается положительным.

Формулу можно вывести из куба суммы, если заменить b на -b: (a+(-b))^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3. После упрощения знаков получается a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.

Чередование знаков помогает контролировать запись: плюс у a^3, минус у 3a^2b, плюс у 3ab^2 и минус у b^3. Если потерять один знак, обратная проверка раскрытием или числовой подстановкой быстро покажет ошибку.

В заданиях формула встречается при раскрытии скобок и при распознавании полного куба четырехчлена. Например, x^3 - 6x^2 + 12x - 8 сворачивается в (x-2)^3, потому что средние члены совпадают с 3*x^2*2 и 3*x*2^2 по модулю.

От разности кубов формула отличается тем, что исходное выражение - это куб всей скобки. Разность кубов a^3-b^3 раскладывается в произведение, но не равна кубу разности.

Эта формула работает как тождество: левая и правая части равны при любых допустимых значениях переменных. Поэтому ее можно применять в обе стороны, но только после распознавания структуры. В записи (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 важны все коэффициенты, показатели и знаки; изменение хотя бы одного из них обычно дает уже другую формулу и другой результат.

Как пользоваться формулой

Определите a и b в скобке a - b.
Запишите a^3, затем отрицательный член -3a^2b.
Добавьте положительный член 3ab^2.
В конце вычтите b^3.
Проверьте чередование знаков и правильность степеней коэффициентов.

Историческая справка

Формула куба разности развивалась вместе с формулами для степеней двучлена. Ее можно объяснить объемной моделью или получить заменой знака в кубе суммы. Исторически такие тождества постепенно переходили от словесных и геометрических описаний к буквенной символике. После появления удобной записи степеней и многочленов формулы для квадратов и кубов стали стандартной частью элементарной алгебры. В школьной традиции они служат мостом от арифметических правил к более общей идее биномиального разложения и коэффициентов 1, 3, 3, 1. В российских и европейских школьных курсах такие тождества окончательно закрепились как обязательный язык преобразования выражений в XIX-XX веках, когда алгебра стала массовым учебным предметом. Учебники выделили их в отдельный блок, потому что одни и те же структуры постоянно появляются при умножении многочленов, разложении на множители и решении уравнений. Поэтому современная формула одновременно хранит старую идею вычисления и служит практическим алгоритмом для школьной задачи.

Историческая линия формулы

Единственного автора у формулы нет. Она является частным случаем бинома и связана с развитием геометрической алгебры, буквенной записи и систематического изучения степеней двучлена. В учебной атрибуции формулу относят не к одному имени, а к традиции элементарной алгебры: она следует из правил действий с многочленами, степенями и распределительного закона.

Пример

Задача: раскрыть выражение (3x - 2)^3. Дано: a = 3x, b = 2. Подстановка: (3x - 2)^3 = (3x)^3 - 3(3x)^2*2 + 3(3x)*2^2 - 2^3. Считаем: (3x)^3 = 27x^3; второй член равен -54x^2; третий равен 36x; последний равен -8. Ответ: 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8. Проверка при x=1: слева (3-2)^3=1, справа 27-54+36-8=1. Чередование знаков сработало правильно. Дополнительная проверка выполняется обратным действием: раскрываем полученные скобки или подставляем простое значение переменной, например 1 или 2. Если обе части дают одно и то же число, структура формулы выбрана верно. Такая проверка особенно полезна, когда в выражении есть коэффициенты, степени или отрицательные знаки. Если подставить еще одно значение переменной, равенство снова сохраняется, потому что формула является тождеством.

Частая ошибка

Главная ошибка - принять (a-b)^3 за a^3-b^3 и потерять два средних члена. Часто также неверно ставят знак перед 3ab^2: он должен быть положительным. В одночленах ошибаются с кубом коэффициента, например (3x)^3 записывают как 9x^3 вместо 27x^3. Проверка простым значением переменной помогает быстро найти сбой. Хорошая защита от ошибки - сначала записать роли a и b или всех сторон словами. После этого легче увидеть, где должен стоять квадрат, коэффициент 2 или 3, знак минус либо сумма всех нужных частей.

Практика

Задачи с решением

Раскрыть куб разности

Условие. Раскройте скобки: (x - 4)^3.

Решение. Подставляем a=x, b=4: x^3 - 3*x^2*4 + 3*x*4^2 - 4^3 = x^3 - 12x^2 + 48x - 64.

Ответ. x^3 - 12x^2 + 48x - 64

Вычислить через удобное число

Условие. Найдите 19^3, представив 19 как 20 - 1.

Решение. 19^3 = (20 - 1)^3 = 8000 - 3*400*1 + 3*20*1 - 1 = 8000 - 1200 + 60 - 1 = 6859.

Ответ. 6859

Дополнительные источники

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Формулы сокращенного умножения
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Куб разности
ФИПИ. ОГЭ по математике: преобразование алгебраических выражений

Связанные формулы

Математика

Степень произведения

$(ab)^n = a^n b^n$

Степень произведения равна произведению степеней всех множителей: каждый множитель внутри скобок возводится в тот же показатель.

Математика

Степень степени

$(a^m)^n = a^{mn}$

При возведении степени в степень основание сохраняют, а показатели перемножают, потому что число одинаковых множителей повторяется группами.

Математика

Вычитание многочленов

$P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x))$

При вычитании многочлена нужно изменить знаки всех его членов, а затем привести подобные слагаемые. Она уточняет, какие величины входят в запись P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x)) и какой результат получают после подстановки.

Математика

Умножение многочлена на многочлен

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.

Математика

Равносильные преобразования уравнения

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

Математика

Приведение подобных слагаемых

$ka + ma = (k + m)a$

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.

Математика

Вынесение общего множителя за скобки

$ab + ac = a(b + c)$

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.