Математика / Алгебра

Вычитание многочленов

При вычитании многочлена нужно изменить знаки всех его членов, а затем привести подобные слагаемые. Она уточняет, какие величины входят в запись P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x)) и какой результат получают после подстановки.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

$$P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x))$$

Обозначения

$P(x)$: многочлен, из которого вычитают
$Q(x)$: вычитаемый многочлен
$-Q(x)$: многочлен с противоположными знаками всех членов Q(x)

Условия применения

Вычитается весь многочлен, заключенный в скобки.
Знаки меняются у каждого члена вычитаемого многочлена.
После раскрытия скобок приводятся только подобные члены.

Ограничения

Нельзя менять знак только у первого слагаемого после минуса перед скобкой.
Неподобные члены не объединяются даже после изменения знаков.
Если внутри второго многочлена уже есть отрицательные члены, после вычитания они становятся положительными.

Подробное объяснение

Вычитание многочлена означает прибавление противоположного многочлена. Противоположный многочлен получается сменой знака каждого его члена. Поэтому минус перед скобкой действует не на один ближайший член, а на всю сумму внутри скобок.

После раскрытия скобок задача становится обычным приведением подобных слагаемых. Коэффициенты при одинаковых степенях складываются, а буквенная часть остается прежней. Если степень отсутствует в одном из многочленов, ее коэффициент можно считать нулевым.

Правило удобно проверять подстановкой числа. Если исходная разность и итоговый многочлен дают одинаковое значение при нескольких x, это хороший способ заметить ошибку со знаком.

Вычитание многочленов часто встречается в уравнениях, задачах на периметр, площади и сравнение выражений. Уверенное раскрытие скобок со знаком минус заметно снижает число ошибок в алгебре 7 класса.

При применении этой формулы важно сначала распознать структуру: какие элементы соответствуют обозначениям в записи P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x)). После этого преобразование выполняется не по внешнему виду, а по смыслу величин. Если структура не совпадает, нужно выбрать другое свойство или предварительно привести выражение к нужному виду.

Как пользоваться формулой

Оставьте первый многочлен без изменения.
У каждого члена второго многочлена смените знак.
Раскройте скобки.
Приведите подобные слагаемые.
Проверьте результат подстановкой удобного значения x.

Историческая справка

Правило вычитания многочленов основано на представлении вычитания как прибавления противоположного числа или выражения. Эта идея появилась в арифметике задолго до современной буквенной алгебры, но с многочленами стала особенно важной: выражение внутри скобок может содержать много членов, и каждый из них должен получить противоположный знак. В школьном курсе правило учит читать скобки как единый объект, а не как украшение записи. Такой навык нужен далее при преобразовании рациональных выражений, решении уравнений и работе с формулами. В учебной традиции XIX-XX веков такие правила получили устойчивую короткую запись, потому что школьная алгебра и геометрия стали массовыми предметами. Краткая формула заменила длинное словесное рассуждение, но сохранила связь с исходным определением, вычислительной практикой и доказательством.

Историческая линия формулы

У правила вычитания многочленов нет единственного автора. Оно является следствием свойств сложения, противоположных выражений и распределительного закона для числа -1. Атрибуция относится к общей школьной и классической математической традиции: формула выводится из определения и стандартных правил действий, а не из отдельной авторской публикации.

Пример

Вычтем многочлены: (5x^2 + 3x - 8) - (2x^2 - 7x + 4). Сначала заменяем вычитание прибавлением противоположного многочлена: 5x^2 + 3x - 8 - 2x^2 + 7x - 4. Теперь приводим подобные члены: (5x^2 - 2x^2) + (3x + 7x) + (-8 - 4). Получаем 3x^2 + 10x - 12. Проверка на x = 1: первый многочлен равен 0, второй равен -1, разность равна 1; итоговый многочлен 3 + 10 - 12 тоже равен 1. Проверка выполняется обратной подстановкой: найденное выражение раскрывают или возвращают в исходное условие. Если после подстановки получается исходное равенство, порядок действий выбран верно. Такая проверка особенно полезна при знаках, степенях и переносе членов.

Частая ошибка

Главная ошибка - раскрыть скобки так: 5x^2 + 3x - 8 - 2x^2 - 7x + 4, сохранив знаки второго и третьего членов. Минус перед скобкой относится ко всему многочлену, поэтому знак меняется у каждого члена. Еще одна ошибка - после раскрытия объединять x^2 и x как подобные; степень переменной должна совпадать.

Практика

Задачи с решением

Вычесть многочлены

Условие. Найдите (6x^2 - x + 5) - (x^2 + 4x - 3).

Решение. Меняем знаки второго многочлена: 6x^2 - x + 5 - x^2 - 4x + 3. Приводим подобные: 5x^2 - 5x + 8.

Ответ. 5x^2 - 5x + 8

Проверить знак

Условие. Раскройте скобки в выражении 2a - (5a - 9).

Решение. Минус перед скобкой меняет оба знака: 2a - 5a + 9. После приведения подобных получаем -3a + 9.

Ответ. -3a + 9

Дополнительные источники

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Разделы «Выражения», «Уравнения», «Степень с натуральным показателем»
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Главы о линейных уравнениях, степенях и многочленах
ФИПИ. ОГЭ по математике: кодификатор проверяемых требований, раздел «Алгебраические выражения и уравнения»

Связанные формулы

Математика

Сложение многочленов

$(a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0)$

При сложении многочленов складывают подобные члены: коэффициенты при одинаковых степенях переменной объединяются. Она уточняет, какие величины входят в запись (a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0) и какой результат получают после подстановки.

Математика

Приведение подобных слагаемых

$ka + ma = (k + m)a$

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.

Математика

Равносильные преобразования уравнения

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

Математика

Умножение многочлена на многочлен

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.

Математика

Вынесение общего множителя за скобки

$ab + ac = a(b + c)$

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.