Математика / Алгебра

Сложение многочленов

При сложении многочленов складывают подобные члены: коэффициенты при одинаковых степенях переменной объединяются. Она уточняет, какие величины входят в запись (a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0) и какой результат получают после подстановки.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

(a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0)

Обозначения

$a_i, b_i$: коэффициенты при одинаковых степенях переменной
$x$: переменная многочлена
$n$: наибольшая рассматриваемая степень

Условия применения

Складываются члены с одинаковой буквенной частью или одинаковой степенью переменной.
Если какой-то степени нет в одном многочлене, ее коэффициент можно считать равным нулю.
Перед сложением полезно записать многочлены в упорядоченном виде.

Ограничения

Нельзя складывать коэффициенты у неподобных членов, например x^2 и x.
Скобки со знаком плюс раскрываются без изменения знаков, но это правило не переносится на вычитание.
Если многочлен содержит несколько переменных, подобными считаются только члены с одинаковой буквенной частью целиком.

Подробное объяснение

Многочлен состоит из одночленов, а складывать можно только подобные одночлены. Подобные члены имеют одинаковую буквенную часть, поэтому отличаются только коэффициентами. При сложении меняется коэффициент, а буквенная часть остается прежней.

Если представить многочлен как сумму коэффициентов при степенях x, то сложение происходит по каждой степени отдельно. Коэффициент при x^2 складывается с коэффициентом при x^2, коэффициент при x - с коэффициентом при x, свободный член - со свободным членом.

Такой порядок делает преобразование проверяемым. Можно подставить любое удобное значение x и убедиться, что сумма исходных многочленов равна значению полученного многочлена.

Сложение многочленов является базой для более сложных действий. Когда раскрывают скобки после умножения или группируют выражение для разложения на множители, финальный шаг часто снова сводится к сложению подобных членов.

При применении этой формулы важно сначала распознать структуру: какие элементы соответствуют обозначениям в записи (a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0). После этого преобразование выполняется не по внешнему виду, а по смыслу величин. Если структура не совпадает, нужно выбрать другое свойство или предварительно привести выражение к нужному виду.

Как пользоваться формулой

Раскройте скобки, если перед ними стоит знак плюс.
Найдите подобные члены с одинаковой буквенной частью.
Сложите их коэффициенты.
Запишите результат в упорядоченном виде.
Проверьте, что неподобные члены не были объединены.

Историческая справка

Сложение многочленов связано с развитием символической алгебры, где выражения стали записывать через буквы, степени и коэффициенты. До такой записи однотипные вычисления приходилось описывать словами или выполнять на конкретных числах. Многочлены позволили работать с общими зависимостями: площадями, числами, функциями и уравнениями. В школьном курсе правило сложения показывает важную идею: алгебраическое выражение можно менять по форме, сохраняя его значение для всех допустимых x. Это делает преобразования не набором трюков, а системой равносильных действий. В учебной традиции XIX-XX веков такие правила получили устойчивую короткую запись, потому что школьная алгебра и геометрия стали массовыми предметами. Краткая формула заменила длинное словесное рассуждение, но сохранила связь с исходным определением, вычислительной практикой и доказательством.

Пример

Сложим многочлены (3x^2 - 5x + 7) и (2x^2 + 9x - 4). Раскрываем скобки со знаком плюс: 3x^2 - 5x + 7 + 2x^2 + 9x - 4. Теперь группируем подобные члены: (3x^2 + 2x^2) + (-5x + 9x) + (7 - 4). Получаем 5x^2 + 4x + 3. Проверка на x = 2: первый многочлен равен 9, второй равен 22, сумма равна 31; итоговый многочлен 5 * 4 + 8 + 3 тоже дает 31. Проверка выполняется обратной подстановкой: найденное выражение раскрывают или возвращают в исходное условие. Если после подстановки получается исходное равенство, порядок действий выбран верно. Такая проверка особенно полезна при знаках, степенях и переносе членов.

Частая ошибка

Частая ошибка - складывать все коэффициенты подряд и терять степени. Например, 3x^2 и 9x не являются подобными членами. Еще одна ошибка - менять знаки при раскрытии скобок после плюса: в сумме знаки членов второго многочлена сохраняются. При записи в столбик важно выравнивать одинаковые степени, а не просто последние члены строк.

Практика

Задачи с решением

Сложить два многочлена

Условие. Найдите сумму (4x^2 - 3x + 1) + (x^2 + 8x - 6).

Решение. Складываем подобные члены: 4x^2 + x^2 = 5x^2, -3x + 8x = 5x, 1 - 6 = -5.

Ответ. 5x^2 + 5x - 5

Сложить с отсутствующим членом

Условие. Сложите 7x^2 + 2 и -3x^2 + 5x - 9.

Решение. У первого многочлена нет члена с x, значит его коэффициент равен 0. Получаем (7 - 3)x^2 + 5x + (2 - 9) = 4x^2 + 5x - 7.

Ответ. 4x^2 + 5x - 7

Дополнительные источники

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Разделы «Выражения», «Уравнения», «Степень с натуральным показателем»
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Главы о линейных уравнениях, степенях и многочленах
ФИПИ. ОГЭ по математике: кодификатор проверяемых требований, раздел «Алгебраические выражения и уравнения»

Связанные формулы

Математика

Приведение подобных слагаемых

$ka + ma = (k + m)a$

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.

Математика

Умножение многочлена на одночлен

$a(b + c) = ab + ac$

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и затем привести подобные слагаемые, если они появились.

Математика

Вычитание многочленов

$P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x))$

При вычитании многочлена нужно изменить знаки всех его членов, а затем привести подобные слагаемые. Она уточняет, какие величины входят в запись P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x)) и какой результат получают после подстановки.

Математика

Равносильные преобразования уравнения

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

Математика

Умножение многочлена на многочлен

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.

Математика

Вынесение общего множителя за скобки

$ab + ac = a(b + c)$

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.