Математика
Алгебра, страница 3
Формулы для уравнений, преобразований, корней, степеней и функций.
194 формулы
Таблица формул
Показаны 121-180 из 194. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Необходимые условия экстремума для двух переменных | $\nabla f(a,b)=(0,0)$ | Пределы, ряды | Необходимые условия экстремума для двух переменных: формула \nabla f(a,b)=(0,0) помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Критерий Гессе для двух переменных | $D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle$ | Пределы, ряды | Критерий Гессе для двух переменных: формула D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Якобиан для смены переменных | $J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\quad dA_{xy}=|J|dA_{uv}$ | Пределы, ряды | Якобиан для смены переменных: формула J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\quad dA_{xy}=|J|dA_{uv} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Двойной интеграл по области | $\iint_D f(x,y)\,dA=\lim_{\max\Delta A_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta A_i$ | Пределы, ряды | Двойной интеграл по области: формула \iint_D f(x,y)\,dA=\lim_{\max\Delta A_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta A_i помогает вычислить интеграл и проверить границы применения метода. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Повторный интеграл | $\iint_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y)\,dy\,dx=\int_c^d\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y)\,dx\,dy$ | Пределы, ряды | Повторный интеграл: формула \iint_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y)\,dy\,dx=\int_c^d\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y)\,dx\,dy помогает требуется требуется требуется требуется требуется важно вычислить интеграл вручную. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Тройной интеграл | $\iiint_G f(x,y,z)\,dV=\lim_{\max \Delta V_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\,\Delta V_i$ | Пределы, ряды | Тройной интеграл: формула \iiint_G f(x,y,z)\,dV=\lim_{\max \Delta V_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\,\Delta V_i помогает вычислить интеграл и проверить границы применения метода. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Полярные координаты в двойном интеграле | $x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta$ | Пределы, ряды | Полярные координаты в двойном интеграле: формула x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta помогает вычислить интеграл и проверить границы применения метода. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Цилиндрические координаты | $x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$ | Пределы, ряды | Цилиндрические координаты: формула x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Сферические координаты | $x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,\quad dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$ | Пределы, ряды | Сферические координаты: формула x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,\quad dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Якобиан замены координат | $J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\qquad dA_{xy}=|J|\,dA_{uv}$ | Пределы, ряды | Якобиан замены координат: формула J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\qquad dA_{xy}=|J|\,dA_{uv} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Площадь через двойной интеграл | $S(D)=\iint_D 1\,dA$ | Пределы, ряды | Площадь через двойной интеграл: формула S(D)=\iint_D 1\,dA помогает вычислить интеграл и проверить границы применения метода. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Объем через тройной интеграл | $V(G)=\iiint_G 1\,dV$ | Пределы, ряды | Объем через тройной интеграл: формула V(G)=\iiint_G 1\,dV помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется получить геометрический объем или проверить объемную модель распределения. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Центр масс области и тела | $\bar x=\frac1M\iint_D x\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar y=\frac1M\iint_D y\rho(x,y)\,dA,\qquad M=\iint_D \rho\,dA$ | Пределы, ряды | Центр масс области и тела: формула \bar x=\frac1M\iint_D x\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar y=\frac1M\iint_D y\rho(x,y)\,dA,\qquad M=\iint_D \rho\,dA помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Криволинейный интеграл первого рода | $\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt$ | Пределы, ряды | Криволинейный интеграл первого рода: формула \int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется величина распределена по траектории: плотность по дороге, массовая распределенность вдоль проволоки или среднее значение по контуру. В текст... |
| Криволинейный интеграл второго рода | $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \left(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\right)dt$ | Пределы, ряды | Криволинейный интеграл второго рода: формула \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \left(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\right)dt помогает вычислить интеграл и проверить границы применения метода. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Поверхностный интеграл первого рода | $\iint_S g\,dS=\iint_D g(\mathbf r(u,v))\,\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv$ | Пределы, ряды | Поверхностный интеграл первого рода: формула \iint_S g\,dS=\iint_D g(\mathbf r(u,v))\,\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv помогает вычислить интеграл и проверить границы применения метода. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Поток векторного поля через поверхность | $\Phi=\iint_S \mathbf F\cdot \mathbf n\,dS=\iint_S (P n_1+Q n_2+R n_3)\,dS$ | Пределы, ряды | Поток векторного поля через поверхность: формула \Phi=\iint_S \mathbf F\cdot \mathbf n\,dS=\iint_S (P n_1+Q n_2+R n_3)\,dS помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Дивергенция векторного поля | $\nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ | Пределы, ряды | Дивергенция векторного поля: формула \nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ротор векторного поля | $\nabla\times\mathbf F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$ | Пределы, ряды | Ротор векторного поля: формула \nabla\times\mathbf F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы... |
| Теорема Грина | $\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$ | Пределы, ряды | Теорема Грина: формула \oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Теорема Гаусса-Остроградского | $\iiint_V (\nabla\cdot\mathbf F)\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$ | Пределы, ряды | Теорема Гаусса-Остроградского: формула \iiint_V (\nabla\cdot\mathbf F)\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Теорема Стокса | $\iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS=\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r$ | Пределы, ряды | Теорема Стокса: формула \iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS=\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Потенциальное поле и независимость пути | $\mathbf F=\nabla\varphi \Rightarrow \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A),\;\nabla\times\mathbf F=0\;\text{в односвязной области}$ | Пределы, ряды | Потенциальное поле и независимость пути: формула \mathbf F=\nabla\varphi \Rightarrow \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A),\;\nabla\times\mathbf F=0\;\text{в односвязной области} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и пров... |
| Степенной ряд | $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n$ | Пределы, ряды | Степенной ряд: формула \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Радиус сходимости степенного ряда | $R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},\quad (1/\limsup=\infty\text{ если }\limsup=0),\quad (1/\infty=0)$ | Пределы, ряды | Радиус сходимости степенного ряда: формула R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},\quad (1/\limsup=\infty\text{ если }\limsup=0),\quad (1/\infty=0) помогает }\limsup=0),\quad (1/\infty=0) помогает }\limsup=0),\quad (1/\infty=0) помогает }\limsup=0),\quad (1/\infty=0) помогает }\limsup=0),\quad (1/\infty=0... |
| Интервал сходимости степенного ряда | $I=(a-R,a+R),\quad a\pm R\text{ — проверяются отдельно }$ | Пределы, ряды | Интервал сходимости степенного ряда: формула I=(a-R,a+R),\quad a\pm R\text{ — проверяются отдельно } помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Формула Тейлора с остаточным членом | $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x),\quad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ | Пределы, ряды | Формула Тейлора с остаточным членом: формула f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x),\quad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ряд Маклорена для e^x | $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb R$ | Пределы, ряды | Ряд Маклорена для e^x: формула e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb R помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ряд Маклорена для sin x | $\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb R$ | Пределы, ряды | Ряд Маклорена для sin x: формула \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb R помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ряд Маклорена для cos x | $\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb R$ | Пределы, ряды | Ряд Маклорена для cos x: формула \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb R помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ряд ln(1+x) | $\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots,\quad -1<x\le 1$ | Пределы, ряды | Ряд ln(1+x): формула \ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots,\quad -1<x\le 1 помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Биномиальный ряд | $(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}x^n,\quad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},\quad |x|<1\text{ (обычно)}$ | Пределы, ряды | Биномиальный ряд: формула (1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}x^n,\quad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},\quad |x|<1\text{ (обычно)} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Матричное произведение | $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$ | Матрицы, определители | Матричное произведение строит элемент новой матрицы как скалярное произведение строки первой матрицы и столбца второй. Порядок множителей важен. |
| Обратная матрица 2x2 | $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ | Матрицы, определители | Обратная матрица 2x2 существует только при ненулевом определителе. Она обращает действие исходной матрицы: A^{-1}A = I, то есть возвращает исходный вектор. |
| Решение системы 2x2 по правилу Крамера | $x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$ | Матрицы, определители | Правило Крамера выражает решение системы двух линейных уравнений через определители. Метод работает, когда главный определитель системы не равен нулю. |
| Проекция вектора на ненормированный вектор | $\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{u^{\top}v}{u^{\top}u}\,u$ | Матрицы, определители | Проекция вектора v на направление u вычисляется через скалярное произведение с нормированием на длину u. Эта формула связывает вычисление с геометрическим смыслом ортогонального разложения: она показывает, какая часть вектора идет вдоль выбранного направления, а какая остается поперек него. |
| Разложение вектора на параллельную и перпендикулярную части | $v=\operatorname{proj}_{u}(v)+\left(v-\operatorname{proj}_{u}(v)\right),\quad u^{\top}\left(v-\operatorname{proj}_{u}(v)\right)=0$ | Матрицы, определители | Любой вектор раскладывается на компоненту вдоль u и ортогональную остаточную часть. Эта формула связывает вычисление с геометрическим смыслом ортогонального разложения: она показывает, какая часть вектора идет вдоль выбранного направления, а какая остается поперек него. |
| Первый вектор в Gram-Schmidt | $q_1=\frac{a_1}{\|a_1\|}$ | Матрицы, определители | Нормировка первого столбца задает первый ортонормированный вектор. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода. |
| k-й шаг алгоритма Gram-Schmidt | $u_k=a_k-\sum_{j=1}^{k-1}(q_j^{\top}a_k)\,q_j,\quad q_k=\frac{u_k}{\|u_k\|}$ | Матрицы, определители | Для каждого нового столбца убирают вклад уже построенных ортонормированных направлений, затем нормируют остаток. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода. |
| Коэффициенты R через скалярные произведения | $R_{ij}=q_i^{\top}a_j,\quad a_j=\sum_{i=1}^{j}R_{ij}q_i,\quad R_{ij}=0\ (i>j)$ | Матрицы, определители | После построения Q каждую колонку a_j раскладывают по уже найденным q_i. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода. |
| Формула QR-разложения | $A = QR,\quad Q^{\top}Q=I_r,\quad R \text{ верхнетреугольная}$ | Матрицы, определители | Матрица A раскладывается в произведение ортонормированной матрицы Q и верхнетреугольной R. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода. |
| Проектор на span(Q) | $P=QQ^{\top},\quad P^2=P,\quad P^{\top}=P$ | Матрицы, определители | Проецирование на пространство столбцов Q удобно через матрицу QQ^T. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода. |
| Наименьшие квадраты через QR | $\hat{x}=R^{-1}Q^{\top}b,\quad A=QR$ | Матрицы, определители | После QR-раскладывания задача минимизации сводится к решению треугольной системы. Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений. |
| Нормальные уравнения в QR-форме | $A^T A x = A^T b,\quad R^T R x = R^T Q^T b$ | Матрицы, определители | Из A=QR получаем эквивалентное равенство через R, сохраняя идею нормальных уравнений. Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений. |
| Остаток в задаче ЛС и его ортогональность | $r=b-A\hat{x},\quad A^T r=0,\quad Q^T r=0$ | Матрицы, определители | Оптимальный LS-решение дает остаток, перпендикулярный всем столбцам A (и столбцам Q). Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений. |
| Сингулярное разложение матрицы | $A=U\Sigma V^T,\quad U^TU=I,\quad V^TV=I$ | Матрицы, определители | Сингулярное разложение представляет матрицу как произведение двух ортогональных матриц и диагональной матрицы сингулярных чисел. Это универсальная форма разложения, которая работает для прямоугольных матриц и показывает главные направления действия линейного отображения. |
| Ранг матрицы через сингулярные числа | $\operatorname{rank}(A)=\#\{i:\sigma_i>0\}$ | Матрицы, определители | Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных чисел. Эта формула связывает алгебраическое понятие размерности образа с численной диагностикой зависимости строк и столбцов. |
| Спектральная норма через сингулярные числа | $\|A\|_2=\sigma_{\max}(A)=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}$ | Матрицы, определители | Спектральная норма матрицы равна ее наибольшему сингулярному числу. Она показывает максимальный коэффициент растяжения вектора при действии линейного отображения. |
| Норма Фробениуса через след и сингулярные числа | $\|A\|_F^2=\operatorname{tr}(A^TA)=\sum_{i,j}a_{ij}^2=\sum_k\sigma_k^2$ | Матрицы, определители | Квадрат нормы Фробениуса равен следу матрицы A^T A, сумме квадратов всех элементов и сумме квадратов сингулярных чисел. Это удобная мера общего размера матрицы. |
| Циклическое свойство следа матрицы | $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA),\quad \operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)=\operatorname{tr}(CAB)$ | Матрицы, определители | След произведения матриц не меняется при циклической перестановке множителей, если все произведения определены. Это свойство помогает упрощать доказательства, производные матричных функций и выражения с нормами. |
| Дополнение Шура | $S=D-CA^{-1}B$ | Матрицы, определители | Дополнение Шура выражает эффективный блок матрицы после исключения другого блока. Оно появляется при блочном обращении матриц, решении систем, вычислении определителей и условных распределениях в статистике. |
| Обратная блочной матрицы через дополнение Шура | $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{pmatrix},\quad S=D-CA^{-1}B$ | Матрицы, определители | Формула обращает блочную матрицу через обратный блок A и обратное дополнение Шура. Она показывает, как получить обратную матрицу без обращения всей матрицы целиком. |
| Лемма об определителе матрицы | $\det(A+uv^T)=\det(A)\left(1+v^TA^{-1}u\right)$ | Матрицы, определители | Лемма об определителе показывает, как меняется определитель обратимой матрицы при ранговом обновлении uv^T. Вместо пересчета всего определителя достаточно вычислить один скаляр. |
| Формула Шермана-Моррисона | $(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1+v^TA^{-1}u}$ | Матрицы, определители | Формула Шермана-Моррисона дает обратную матрицу после рангового обновления A+uv^T. Она позволяет обновить уже известную обратную матрицу без полного повторного обращения. |
| Формула Вудбери | $(A+UCV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$ | Матрицы, определители | Формула Вудбери обобщает обновление обратной матрицы на добавку малого ранга UCV. Она позволяет заменить обращение большой матрицы обращением меньшей матрицы. |
| Степени и корни: основные свойства | $a^m a^n=a^{m+n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad \sqrt[n]{a}=a^{1/n}$ | Алгебра | Свойства степеней и корней позволяют заменять произведения, частные и корни выражениями со степенями. Это базовый язык алгебраических преобразований в школьной математике. |
| Формулы сокращенного умножения | $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2,\quad a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ | Алгебра | Формулы сокращенного умножения позволяют быстро раскрывать скобки и раскладывать выражения на множители. Они являются основой преобразования многочленов. |
| Квадратный трехчлен и разложение по корням | $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ | Алгебра | Квадратный трехчлен можно разложить на множители через его корни, если корни существуют. Формула связывает стандартный вид многочлена с точками, где он обращается в ноль. |
| Модуль числа и его определение | $|x|=\begin{cases}x,\ x\ge0,\\-x,\ x<0.\end{cases}$ | Алгебра | Модуль числа равен расстоянию от этого числа до нуля на координатной прямой. По определению он равен самому числу для x≥0 и противоположному числу для x<0. |
| Прогрессии: n-й член и сумма первых членов | $a_n=a_1+(n-1)d,\quad S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$ | Алгебра | Для арифметической прогрессии n-й член находится через первый член и разность, а сумма первых n членов равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на n. |