Математика / Алгебра

Квадрат разности двух выражений

Квадрат разности равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение выражений плюс квадрат второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Обозначения

$a$: уменьшаемое выражение в скобках
$b$: вычитаемое выражение в скобках

Условия применения

Разность a - b возводится в квадрат как единое выражение.
Формула применима к числам, одночленам и многочленам, если операции определены.
Если b само содержит знак минус, его нужно подставлять вместе со скобками.

Ограничения

Квадрат разности не равен a^2 - b^2: это другая формула.
Последний член b^2 всегда положительный или записывается как квадрат выражения.
При раскрытии сложных скобок нельзя пропускать промежуточную запись 2ab.

Подробное объяснение

Квадрат разности описывает произведение двух одинаковых скобок (a-b)(a-b). Результат содержит квадрат первого выражения, квадрат второго выражения и средний член со знаком минус, потому что смешанные произведения равны -ab и -ab.

Вывод получается прямым умножением многочленов: a*a дает a^2, a*(-b) дает -ab, (-b)*a дает еще -ab, а (-b)*(-b) дает +b^2. Два отрицательных смешанных произведения складываются в -2ab, поэтому знак среднего члена отличает квадрат разности от квадрата суммы.

Последний член b^2 имеет знак плюс не случайно: квадрат отрицательного выражения положителен в алгебраической записи. Даже если b является одночленом с коэффициентом, например 5y, квадрат дает 25y^2. Знак минус влияет только на средний член, если разность записана как a-b.

В практических заданиях формула помогает как раскрывать скобки, так и распознавать полный квадрат. Трехчлен a^2-2ab+b^2 можно свернуть в (a-b)^2, если крайние члены являются квадратами, а средний равен минус удвоенному произведению оснований.

Перед применением полезно проговорить: первое в квадрат, минус удвоенное произведение, второе в квадрат. Эта фраза защищает от смешения с разностью квадратов.

Эта формула работает как тождество: левая и правая части равны при любых допустимых значениях переменных. Поэтому ее можно применять в обе стороны, но только после распознавания структуры. В записи (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 важны все коэффициенты, показатели и знаки; изменение хотя бы одного из них обычно дает уже другую формулу и другой результат.

Как пользоваться формулой

Найдите выражение a перед знаком минус и выражение b после знака минус.
Возведите a в квадрат и запишите первый член результата.
Вычислите удвоенное произведение 2ab и поставьте перед ним знак минус.
Возведите b в квадрат и прибавьте этот член.
Проверьте знак среднего члена и упростите коэффициенты.

Историческая справка

Как и квадрат суммы, квадрат разности долго объясняли через геометрические модели площадей. Если из отрезка a убрать часть b, квадрат оставшейся длины можно выразить через площадь большого квадрата и вычитаемые прямоугольники, после чего остается добавка b^2. Такие рассуждения были естественны для античной геометрии, где алгебраические равенства записывали словами и доказывали фигурами. Современная формула с буквами и показателем степени появилась после становления символической алгебры. В учебниках 7 класса она используется как одно из первых тождеств, где знак выражения влияет на структуру многочлена. В российских и европейских школьных курсах такие тождества окончательно закрепились как обязательный язык преобразования выражений в XIX-XX веках, когда алгебра стала массовым учебным предметом. Учебники выделили их в отдельный блок, потому что одни и те же структуры постоянно появляются при умножении многочленов, разложении на множители и решении уравнений. Поэтому современная формула одновременно хранит старую идею вычисления и служит практическим алгоритмом для школьной задачи.

Историческая линия формулы

Единственного автора у формулы нет. Ее происхождение связано с геометрической алгеброй площадей и с последующим развитием символической записи, позволившей кратко записывать тождества для любых выражений a и b. В учебной атрибуции формулу относят не к одному имени, а к традиции элементарной алгебры: она следует из правил действий с многочленами, степенями и распределительного закона.

Пример

Задача: раскрыть выражение (5x - 3y)^2. Дано: a = 5x, b = 3y. Подстановка: (5x - 3y)^2 = (5x)^2 - 2*(5x)*(3y) + (3y)^2. Считаем каждый член: (5x)^2 = 25x^2, удвоенное произведение равно 30xy, (3y)^2 = 9y^2. Получаем 25x^2 - 30xy + 9y^2. Ответ: 25x^2 - 30xy + 9y^2. Проверка при x=1, y=1: слева (5-3)^2=4, справа 25-30+9=4. Средний член имеет минус, и именно он делает проверку верной. Дополнительная проверка выполняется обратным действием: раскрываем полученные скобки или подставляем простое значение переменной, например 1 или 2. Если обе части дают одно и то же число, структура формулы выбрана верно. Такая проверка особенно полезна, когда в выражении есть коэффициенты, степени или отрицательные знаки.

Частая ошибка

Часто квадрат разности путают с разностью квадратов и пишут (a-b)^2=a^2-b^2. Это неверно: пропадает средний член -2ab и меняется последний знак. Вторая ошибка - записать последний член как -b^2 из-за минуса в скобке. На самом деле (-b)^2=b^2. В одночленах следите за коэффициентами: (4x)^2 равно 16x^2. Хорошая защита от ошибки - сначала записать роли a и b или всех сторон словами. После этого легче увидеть, где должен стоять квадрат, коэффициент 2 или 3, знак минус либо сумма всех нужных частей.

Практика

Задачи с решением

Раскрыть квадрат разности

Условие. Раскройте скобки: (x - 4)^2.

Решение. Берем a=x, b=4. По формуле получаем x^2 - 2*x*4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16.

Ответ. x^2 - 8x + 16

Вычислить без столбика

Условие. Найдите 99^2 через квадрат разности.

Решение. Представим 99 как 100 - 1. Тогда 99^2 = (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801.

Ответ. 9801

Дополнительные источники

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Формулы сокращенного умножения
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Квадрат разности
ФИПИ. Кодификатор ОГЭ по математике: тождественные преобразования

Связанные формулы

Математика

Умножение многочлена на многочлен

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.

Математика

Приведение подобных слагаемых

$ka + ma = (k + m)a$

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.

Математика

Вычитание многочленов

$P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x))$

При вычитании многочлена нужно изменить знаки всех его членов, а затем привести подобные слагаемые. Она уточняет, какие величины входят в запись P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x)) и какой результат получают после подстановки.

Математика

Вынесение общего множителя за скобки

$ab + ac = a(b + c)$

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.

Математика

Равносильные преобразования уравнения

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.