Математика / Алгебра

Разность кубов двух выражений

Разность кубов раскладывается на разность оснований и неполный квадрат суммы этих оснований. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Обозначения

$a$: основание первого куба
$b$: основание второго куба

Условия применения

Оба члена выражения должны быть кубами.
Между кубами стоит знак минус.
Формула применима для разложения и обратного умножения скобок.

Ограничения

Нельзя путать a^3-b^3 с (a-b)^3: у куба разности есть смешанные члены.
Второй множитель a^2+ab+b^2 не равен квадрату суммы.
Если выражение содержит не кубы, формула не подходит без предварительного преобразования.

Подробное объяснение

Разность кубов представляет выражение a^3-b^3 как произведение двух множителей. Первый множитель a-b показывает, что при a=b разность кубов становится нулем. Второй множитель дополняет произведение так, чтобы при раскрытии исчезли все смешанные члены.

Раскроем правую часть: (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3. Слагаемые a^2b и -a^2b сокращаются, так же сокращаются ab^2 и -ab^2. Остается только a^3-b^3.

Знаки во втором множителе все положительные. Это удобно запоминать через отличие от суммы кубов: у суммы кубов первый множитель a+b, а во втором знак при ab отрицательный; у разности кубов первый множитель a-b, а во втором все плюсы.

В задачах важно сначала распознать основания кубов. Например, 27x^3-y^3 имеет основания 3x и y. Если основание выбрано неверно, коэффициенты во втором множителе сразу станут неправильными.

Формула не заменяет куб разности. Выражение (a-b)^3 раскрывается в четыре члена, а a^3-b^3 состоит из двух кубов и раскладывается на два множителя.

Эта формула работает как тождество: левая и правая части равны при любых допустимых значениях переменных. Поэтому ее можно применять в обе стороны, но только после распознавания структуры. В записи a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) важны все коэффициенты, показатели и знаки; изменение хотя бы одного из них обычно дает уже другую формулу и другой результат.

Как пользоваться формулой

Убедитесь, что выражение имеет вид разности двух кубов.
Найдите основания кубов a и b.
Запишите первый множитель a - b.
Запишите второй множитель a^2 + ab + b^2.
Проверьте раскрытием, что смешанные члены сокращаются.

Историческая справка

Разность кубов вошла в школьную алгебру как часть набора формул для разложения многочленов. Ее исторические корни связаны с решением уравнений, преобразованием степенных выражений и развитием символической записи. До современной буквенной формы подобные равенства доказывали словесно или через геометрические рассуждения, но именно алгебраическая символика позволила записать одно правило для любых выражений. Формула также является частным случаем общего разложения a^n-b^n, которое играет важную роль в теории многочленов. В российских и европейских школьных курсах такие тождества окончательно закрепились как обязательный язык преобразования выражений в XIX-XX веках, когда алгебра стала массовым учебным предметом. Учебники выделили их в отдельный блок, потому что одни и те же структуры постоянно появляются при умножении многочленов, разложении на множители и решении уравнений. Поэтому современная формула одновременно хранит старую идею вычисления и служит практическим алгоритмом для школьной задачи.

Историческая линия формулы

Единственного автора нет. Формула относится к классической алгебре многочленов и является частным случаем общего правила разности степеней, известного задолго до современных школьных обозначений. В учебной атрибуции формулу относят не к одному имени, а к традиции элементарной алгебры: она следует из правил действий с многочленами, степенями и распределительного закона.

Пример

Задача: разложить выражение 125x^3 - 8y^3. Дано: 125x^3 = (5x)^3, 8y^3 = (2y)^3. Значит a = 5x, b = 2y. Подстановка: a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). Получаем (5x - 2y)((5x)^2 + (5x)(2y) + (2y)^2) = (5x - 2y)(25x^2 + 10xy + 4y^2). Ответ: (5x - 2y)(25x^2 + 10xy + 4y^2). Проверка раскрытием дает 125x^3 + 50x^2y + 20xy^2 - 50x^2y - 20xy^2 - 8y^3, смешанные члены сокращаются. Дополнительная проверка выполняется обратным действием: раскрываем полученные скобки или подставляем простое значение переменной, например 1 или 2. Если обе части дают одно и то же число, структура формулы выбрана верно. Такая проверка особенно полезна, когда в выражении есть коэффициенты, степени или отрицательные знаки. Если подставить еще одно значение переменной, равенство снова сохраняется, потому что формула является тождеством.

Частая ошибка

Самая заметная ошибка - записать второй множитель как a^2-ab+b^2, перепутав с суммой кубов. Также часто принимают a^3-b^3 за (a-b)^3 и теряют члены -3a^2b и 3ab^2, которые относятся к другой формуле. При коэффициентах важно извлекать именно куб: из 64x^3 получается 4x, а не 8x. Хорошая защита от ошибки - сначала записать роли a и b или всех сторон словами. После этого легче увидеть, где должен стоять квадрат, коэффициент 2 или 3, знак минус либо сумма всех нужных частей.

Практика

Задачи с решением

Разложить разность кубов

Условие. Разложите x^3 - 27.

Решение. 27 = 3^3, поэтому x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9).

Ответ. (x - 3)(x^2 + 3x + 9)

Разложить кубы одночленов

Условие. Разложите 64a^3 - b^3.

Решение. 64a^3 = (4a)^3. Тогда по формуле получаем (4a-b)((4a)^2 + (4a)b + b^2).

Ответ. (4a - b)(16a^2 + 4ab + b^2)

Дополнительные источники

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Разность кубов
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Формулы сокращенного умножения
ФИПИ. ОГЭ по математике: преобразование и разложение выражений

Связанные формулы

Математика

Вынесение общего множителя за скобки

$ab + ac = a(b + c)$

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.

Математика

Разложение многочлена группировкой

$ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$

Разложение группировкой помогает разложить многочлен на множители, если общий множитель виден не сразу во всех членах, но появляется после объединения слагаемых в пары или группы.

Математика

Вычитание многочленов

$P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x))$

При вычитании многочлена нужно изменить знаки всех его членов, а затем привести подобные слагаемые. Она уточняет, какие величины входят в запись P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x)) и какой результат получают после подстановки.

Математика

Степень степени

$(a^m)^n = a^{mn}$

При возведении степени в степень основание сохраняют, а показатели перемножают, потому что число одинаковых множителей повторяется группами.

Математика

Равносильные преобразования уравнения

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

Математика

Приведение подобных слагаемых

$ka + ma = (k + m)a$

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.

Математика

Умножение многочлена на многочлен

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.