Математика / Алгебра

Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов раскладывается в произведение разности выражений и их суммы. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Обозначения

$a$: основание первого квадрата
$b$: основание второго квадрата

Условия применения

Оба члена должны быть квадратами некоторых выражений.
Между квадратами стоит знак минус.
Формула применима в обе стороны: для разложения и для умножения суммы на разность.

Ограничения

Сумма квадратов a^2+b^2 в школьной алгебре 7 класса по этой формуле не раскладывается.
Нельзя путать a^2-b^2 с (a-b)^2: у квадрата разности есть средний член.
Если член не является точным квадратом, сначала нужно привести его к виду квадрата или выбрать другой способ.

Подробное объяснение

Разность квадратов связывает выражение из двух квадратов с произведением двух сопряженных скобок. Сопряженными называют скобки, которые отличаются только знаком между a и b: одна содержит a-b, другая a+b. Их произведение убирает смешанные члены.

Если раскрыть (a-b)(a+b), получится a^2+ab-ab-b^2. Слагаемые ab и -ab взаимно уничтожаются, поэтому остается a^2-b^2. Именно это сокращение смешанных членов делает формулу такой удобной для разложения.

Формула чувствительна к знаку между квадратами. При знаке минус возникает разложение на сумму и разность, а при знаке плюс такого школьного разложения над действительными числами нет. Поэтому перед применением проверяют не только квадраты, но и знак между ними.

В задачах разность квадратов часто прячется за коэффициентами: 25x^2-9 равно (5x)^2-3^2, значит раскладывается как (5x-3)(5x+3). При сокращении алгебраических дробей такая запись помогает увидеть общий множитель.

От квадрата разности формула отличается направлением: a^2-b^2 содержит два члена, а (a-b)^2 раскрывается в трехчлен. Это одно из главных различий, которое нужно держать в памяти.

Эта формула работает как тождество: левая и правая части равны при любых допустимых значениях переменных. Поэтому ее можно применять в обе стороны, но только после распознавания структуры. В записи a^2-b^2=(a-b)(a+b) важны все коэффициенты, показатели и знаки; изменение хотя бы одного из них обычно дает уже другую формулу и другой результат.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что выражение состоит из двух членов со знаком минус между ними.
Представьте первый член как квадрат выражения a.
Представьте второй член как квадрат выражения b.
Запишите произведение двух скобок: (a - b)(a + b).
Проверьте результат обратным раскрытием скобок, если есть сомнение.

Историческая справка

Разность квадратов имеет очень наглядное геометрическое происхождение. Если из площади квадрата со стороной a вычесть площадь квадрата со стороной b, оставшуюся фигуру можно разрезать и переложить в прямоугольник со сторонами a-b и a+b. Такая идея была близка древней геометрической алгебре, где произведения и квадраты понимались как площади. Позже, с развитием буквенной алгебры, это геометрическое наблюдение стало алгебраическим тождеством. В школьном курсе формула стала одной из ключевых, потому что она одновременно учит раскрывать скобки и видеть обратное действие - разложение на множители. В российских и европейских школьных курсах такие тождества окончательно закрепились как обязательный язык преобразования выражений в XIX-XX веках, когда алгебра стала массовым учебным предметом. Учебники выделили их в отдельный блок, потому что одни и те же структуры постоянно появляются при умножении многочленов, разложении на множители и решении уравнений. Поэтому современная формула одновременно хранит старую идею вычисления и служит практическим алгоритмом для школьной задачи.

Историческая линия формулы

Формула не принадлежит одному математику. Ее можно считать результатом древней геометрической традиции и последующей алгебраической символики: современная запись фиксирует давно известное равенство площадей и произведений. В учебной атрибуции формулу относят не к одному имени, а к традиции элементарной алгебры: она следует из правил действий с многочленами, степенями и распределительного закона.

Пример

Задача: разложить на множители выражение 16x^2 - 81y^2. Дано: первый член 16x^2 = (4x)^2, второй член 81y^2 = (9y)^2. Подставляем в формулу a^2 - b^2 = (a - b)(a + b), где a = 4x, b = 9y. Получаем 16x^2 - 81y^2 = (4x - 9y)(4x + 9y). Ответ: (4x - 9y)(4x + 9y). Проверка раскрытием: (4x)^2 + 36xy - 36xy - (9y)^2 = 16x^2 - 81y^2. Смешанные члены сократились, значит разложение верное. Дополнительная проверка выполняется обратным действием: раскрываем полученные скобки или подставляем простое значение переменной, например 1 или 2. Если обе части дают одно и то же число, структура формулы выбрана верно. Такая проверка особенно полезна, когда в выражении есть коэффициенты, степени или отрицательные знаки.

Частая ошибка

Первый тип ошибки - применять формулу к сумме квадратов, например x^2+9. Второй - забывать извлечь квадрат из коэффициента: 16x^2 дает основание 4x, а не 16x. Третий - путать с квадратом разности и добавлять средний член. В разности квадратов исходно два члена, а после разложения две скобки с противоположными знаками. Хорошая защита от ошибки - сначала записать роли a и b или всех сторон словами. После этого легче увидеть, где должен стоять квадрат, коэффициент 2 или 3, знак минус либо сумма всех нужных частей.

Практика

Задачи с решением

Разложить разность квадратов

Условие. Разложите на множители x^2 - 49.

Решение. 49 = 7^2, значит x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7).

Ответ. (x - 7)(x + 7)

Вычислить произведение

Условие. Найдите 103 * 97 без длинного умножения.

Решение. 103 * 97 = (100 + 3)(100 - 3). Это произведение суммы и разности: 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991.

Ответ. 9991

Дополнительные источники

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Разность квадратов
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Формулы сокращенного умножения
ФИПИ. ОГЭ по математике: преобразование выражений и разложение на множители

Связанные формулы

Математика

Умножение многочлена на многочлен

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.

Математика

Вынесение общего множителя за скобки

$ab + ac = a(b + c)$

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.

Математика

Разложение многочлена группировкой

$ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$

Разложение группировкой помогает разложить многочлен на множители, если общий множитель виден не сразу во всех членах, но появляется после объединения слагаемых в пары или группы.

Математика

Вычитание многочленов

$P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x))$

При вычитании многочлена нужно изменить знаки всех его членов, а затем привести подобные слагаемые. Она уточняет, какие величины входят в запись P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x)) и какой результат получают после подстановки.

Математика

Равносильные преобразования уравнения

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

Математика

Приведение подобных слагаемых

$ka + ma = (k + m)a$

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.