Математика / Алгебра

Куб суммы двух выражений

Куб суммы раскрывается в четыре слагаемых: куб первого выражения, два смешанных члена с коэффициентом 3 и куб второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

Обозначения

$a$: первое слагаемое двучлена
$b$: второе слагаемое двучлена

Условия применения

В куб возводится вся сумма a + b.
Формула применима к числам, одночленам и многочленам при обычных алгебраических операциях.
Оба смешанных члена сохраняются: 3a^2b и 3ab^2.

Ограничения

Нельзя записывать (a+b)^3 как a^3+b^3: смешанные члены обязательны.
При отрицательном втором слагаемом удобнее перейти к формуле куба разности.
Для выражений с ограничениями, например дробей, нужно отдельно учитывать допустимые значения.

Подробное объяснение

Куб суммы показывает результат умножения трех одинаковых скобок (a+b). В отличие от квадрата, здесь появляются четыре слагаемых: чистый куб a, чистый куб b и два смешанных типа, где одно выражение берется дважды, а другое один раз.

Коэффициенты 1, 3, 3, 1 возникают из количества способов выбрать слагаемые из трех скобок. Чтобы получить a^2b, нужно выбрать b из одной скобки и a из двух остальных; таких выборов три. Аналогично для ab^2 есть три выбора скобки, из которой берется a.

Если b увеличивается, меняются оба смешанных члена: один пропорционален b, другой b^2. Поэтому куб суммы нельзя оценивать как простое сложение кубов. Смешанные слагаемые часто дают основную часть результата, особенно когда a и b близки по величине.

В школьных задачах формула полезна в двух направлениях. При раскрытии скобок она экономит длинное умножение, а при свертывании помогает увидеть полный куб четырехчлена. Для проверки смотрят крайние кубы и два средних члена с коэффициентами 3.

Перед применением важно правильно выбрать основания кубов. Если крайний член равен 8x^3, основанием будет 2x, потому что (2x)^3=8x^3.

Эта формула работает как тождество: левая и правая части равны при любых допустимых значениях переменных. Поэтому ее можно применять в обе стороны, но только после распознавания структуры. В записи (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 важны все коэффициенты, показатели и знаки; изменение хотя бы одного из них обычно дает уже другую формулу и другой результат.

Как пользоваться формулой

Определите выражения a и b внутри суммы.
Запишите куб первого выражения a^3.
Добавьте 3a^2b, внимательно возводя в квадрат все выражение a.
Добавьте 3ab^2 и затем куб второго выражения b^3.
Соберите коэффициенты и проверьте результат числовой подстановкой при необходимости.

Историческая справка

Формула куба суммы связана с развитием степенных тождеств и биномиальных коэффициентов. Геометрически ее можно понимать через объем куба со стороной a+b, разбитого на кубы и прямоугольные параллелепипеды. Уже древняя математика использовала подобные объемные рассуждения, хотя современная буквенная запись появилась намного позже. В XVII веке свойства биномиальных разложений получили систематическую форму, а школьные формулы для квадратов и кубов стали частными случаями общего бинома. В курсе 7 класса эта формула обычно дается как практический инструмент, не требующий знания общей теоремы. В российских и европейских школьных курсах такие тождества окончательно закрепились как обязательный язык преобразования выражений в XIX-XX веках, когда алгебра стала массовым учебным предметом. Учебники выделили их в отдельный блок, потому что одни и те же структуры постоянно появляются при умножении многочленов, разложении на множители и решении уравнений. Поэтому современная формула одновременно хранит старую идею вычисления и служит практическим алгоритмом для школьной задачи.

Историческая линия формулы

У формулы нет единственного автора. Она является частным случаем биномиального разложения и связана с широкой традицией от геометрических моделей объема до символической алгебры и треугольника Паскаля. В учебной атрибуции формулу относят не к одному имени, а к традиции элементарной алгебры: она следует из правил действий с многочленами, степенями и распределительного закона.

Пример

Задача: раскрыть выражение (2x + y)^3. Дано: a = 2x, b = y. Подставляем: (2x + y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2y + 3(2x)y^2 + y^3. Считаем по частям: (2x)^3 = 8x^3, 3(2x)^2y = 3*4x^2*y = 12x^2y, 3(2x)y^2 = 6xy^2. Ответ: 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3. Проверка при x=1, y=1: слева 3^3=27, справа 8+12+6+1=27. Коэффициенты 3 проявились в средних членах, поэтому равенство сохранилось. Дополнительная проверка выполняется обратным действием: раскрываем полученные скобки или подставляем простое значение переменной, например 1 или 2. Если обе части дают одно и то же число, структура формулы выбрана верно. Такая проверка особенно полезна, когда в выражении есть коэффициенты, степени или отрицательные знаки. Если подставить еще одно значение переменной, равенство снова сохраняется, потому что формула является тождеством.

Частая ошибка

Чаще всего забывают смешанные члены или ставят коэффициент 2 вместо 3 по аналогии с квадратом суммы. Еще одна ошибка - неверно возводить одночлен в куб: (2x)^3 равно 8x^3. При свертывании полного куба нужно проверять оба средних члена, иначе можно принять похожий четырехчлен за куб суммы. Хорошая защита от ошибки - сначала записать роли a и b или всех сторон словами. После этого легче увидеть, где должен стоять квадрат, коэффициент 2 или 3, знак минус либо сумма всех нужных частей.

Практика

Задачи с решением

Раскрыть куб суммы

Условие. Раскройте скобки: (x + 2)^3.

Решение. Подставляем a=x, b=2: x^3 + 3*x^2*2 + 3*x*2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.

Ответ. x^3 + 6x^2 + 12x + 8

Узнать полный куб

Условие. Сверните x^3 + 9x^2 + 27x + 27.

Решение. 27 = 3^3, 9x^2 = 3*x^2*3, 27x = 3*x*3^2. Это куб суммы x и 3.

Ответ. (x + 3)^3

Дополнительные источники

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Формулы сокращенного умножения
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Куб суммы и куб разности
ФИПИ. ОГЭ по математике: преобразование целых выражений

Связанные формулы

Математика

Степень произведения

$(ab)^n = a^n b^n$

Степень произведения равна произведению степеней всех множителей: каждый множитель внутри скобок возводится в тот же показатель.

Математика

Степень степени

$(a^m)^n = a^{mn}$

При возведении степени в степень основание сохраняют, а показатели перемножают, потому что число одинаковых множителей повторяется группами.

Математика

Умножение многочлена на многочлен

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.

Математика

Приведение подобных слагаемых

$ka + ma = (k + m)a$

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.

Математика

Равносильные преобразования уравнения

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

Математика

Вынесение общего множителя за скобки

$ab + ac = a(b + c)$

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.