Производная функции в точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует.
$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
Производная степенной функции x^n равна n·x^(n-1), то есть показатель степени становится коэффициентом и уменьшается на единицу.
$(x^n)'=nx^{n-1}$
Касательная к графику функции в точке x0 имеет угловой коэффициент f'(x0) и проходит через точку графика (x0; f(x0)) как обычная прямая.
$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
Если производная положительна на интервале, функция возрастает; если производная отрицательна на интервале, функция убывает.
$f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\quad f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$
Критические точки функции ищут среди точек, где производная равна нулю или не существует, а экстремум подтверждают сменой знака производной.
$f'(x_0)=0\ \text{или}\ f'(x_0)\ \text{не существует}$
Формула находит длину отрезка между двумя точками по их координатам и является координатной записью теоремы Пифагора. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
$M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$
Формула дает координаты точки, которая делит отрезок между A и B в отношении m:n, с большим весом у противоположного конца. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
$P\left(\frac{n x_1+m x_2}{m+n},\frac{n y_1+m y_2}{m+n}\right),\quad AP:PB=m:n$
Координаты вектора из A в B равны разности координат конца и начала. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A)$
Длина вектора на плоскости вычисляется как корень из суммы квадратов его координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
$\|a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$
Скалярное произведение в координатах равно сумме произведений соответствующих координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
$a\cdot b=a_x b_x+a_y b_y$
Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение длин. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
$\cos\varphi=\frac{a_xb_x+a_yb_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2}}$
Уравнение прямой через две точки фиксирует равенство отношений координатных приращений для любой точки этой прямой. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$
Угловой коэффициент показывает, насколько меняется y при увеличении x на одну единицу. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Расстояние от точки до прямой равно модулю подстановки точки в нормированное общее уравнение прямой. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}},\quad Ax+By+C=0$
Уравнение окружности в канонической форме: формула (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
Уравнение окружности по центру и радиусу: формула (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$
Уравнение касательной к окружности в заданной точке: формула (x_1-a)(x-a_0)+(y_1-b)(y-b_0)=R^2 помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$(x_1-a)(x-a_0)+(y_1-b)(y-b_0)=R^2$
Дискриминант пересечения окружности и прямой: формула \Delta=(A^2+B^2)R^2-(A x_0+B y_0+C)^2 помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$\Delta=(A^2+B^2)R^2-(A x_0+B y_0+C)^2$
Каноническое уравнение эллипса: формула \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\ a\ge b>0 помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\ a\ge b>0$
Расстояние от центра до фокуса эллипса: формула c=\sqrt{a^2-b^2},\quad e=\frac{c}{a} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется найти расстояние по координатам, точке, прямой или плоскости. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$c=\sqrt{a^2-b^2},\quad e=\frac{c}{a}$
Каноническое уравнение гиперболы: формула \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$
Асимптоты гиперболы в канонических координатах: формула y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h) помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)$
Каноническое уравнение параболы: формула y-k = a(x-h)^2 помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$y-k = a(x-h)^2$
Парабола через фокус и директрису: формула \sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=\left|\frac{Ax+B y+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right| помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=\left|\frac{Ax+B y+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$
Расстояние между двумя точками в пространстве: формула d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} помогает найти расстояние по координатам, точке, прямой или плоскости. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$
Вектор между двумя точками в пространстве: формула \vec{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$\vec{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$
Уравнение плоскости по точке и нормали: формула A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
Угол между двумя плоскостями: формула \cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется найти угол через векторы, нормали или направляющие. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$
Угол между прямой и плоскостью: формула \sin\alpha=\frac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec n||\vec v|} помогает найти угол через векторы, нормали или направляющие. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$\sin\alpha=\frac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec n||\vec v|}$
Параметрическое уравнение прямой в пространстве: формула \left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{array}\right. помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{array}\right.$
Расстояние от точки до прямой в пространстве: формула d=\frac{|(\vec r_0-\vec r_1)\times\vec v|}{|\vec v|} помогает найти расстояние по координатам, точке, прямой или плоскости. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$d=\frac{|(\vec r_0-\vec r_1)\times\vec v|}{|\vec v|}$
Объем параллелепипеда через смешанное произведение: формула V=|\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)| помогает получить площадь или объем из координатной модели. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$V=|\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)|$
Компланарность четырех точек через смешанное произведение: формула V=\left|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\right|=0 помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется смешанное произведение соответствующих трех направляющих векторов равно нулю. В тексте есть условия, пример, ошибки и провер...
$V=\left|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\right|=0$
Общее уравнение кривой второго порядка: формула Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$
Классификация коники по дискриминанту: формула \delta=B^2-4AC:\quad \delta<0\ \text{эллиптический тип},\ \delta=0\ \text{параболический тип},\ \delta>0\ \text{гиперболический тип} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется кривая не вырождена. В тексте есть условия, пример, ошибки и прове...
$\delta=B^2-4AC:\quad \delta<0\ \text{эллиптический тип},\ \delta=0\ \text{параболический тип},\ \delta>0\ \text{гиперболический тип}$
Центр коники из линейной системы: формула \begin{cases}2Ah + Bk + D = 0\\Bh + 2Ck + E = 0\end{cases} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$\begin{cases}2Ah + Bk + D = 0\\Bh + 2Ck + E = 0\end{cases}$
Угол поворота осей для устранения члена xy: формула \tan 2\theta = \frac{B}{A-C} помогает найти угол через векторы, нормали или направляющие. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$\tan 2\theta = \frac{B}{A-C}$
Перенос начала координат в центр коники: формула x=X+h,\ y=Y+k;\quad AX^2+BXY+CY^2+J=0 помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$x=X+h,\ y=Y+k;\quad AX^2+BXY+CY^2+J=0$
Полуоси эллипса после диагонализации: формула \lambda_1U^2+\lambda_2V^2+J=0,\quad \lambda_1,\lambda_2>0,\ J<0,\quad a_i^2=\frac{-J}{\lambda_i} помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$\lambda_1U^2+\lambda_2V^2+J=0,\quad \lambda_1,\lambda_2>0,\ J<0,\quad a_i^2=\frac{-J}{\lambda_i}$
Полуоси гиперболы после диагонализации: формула \lambda_+U^2+\lambda_-V^2+J=0,\quad \lambda_+>0,\lambda_-<0,\quad a^2=\frac{|J|}{|\lambda_+|},\ b^2=\frac{|J|}{|\lambda_-|} помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$\lambda_+U^2+\lambda_-V^2+J=0,\quad \lambda_+>0,\lambda_-<0,\quad a^2=\frac{|J|}{|\lambda_+|},\ b^2=\frac{|J|}{|\lambda_-|}$
Вершина и ось параболы через выделение квадрата: формула (Y-k)^2=2p(X-h)\quad \text{или}\quad (X-h)^2=2p(Y-k) помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$(Y-k)^2=2p(X-h)\quad \text{или}\quad (X-h)^2=2p(Y-k)$
Критерий вырожденной коники через определитель: формула \Delta = \left|\begin{matrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{matrix}\right| = 0 помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется детерминант квадратичной формы с линейны...
$\Delta = \left|\begin{matrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{matrix}\right| = 0$
Инвариант следа квадратичной части коники: формула A'+C'=A+C=\operatorname{tr}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix} помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
$A'+C'=A+C=\operatorname{tr}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}$
Уравнение плоскости через три неколлинеарные точки получают из равенства нулю определителя, составленного по координатам этих точек и произвольной точки плоскости.
$\left|\begin{matrix}x & y & z & 1\\x_1 & y_1 & z_1 & 1\\x_2 & y_2 & z_2 & 1\\x_3 & y_3 & z_3 & 1\end{matrix}\right|=0$
Нормаль к плоскости можно найти как векторное произведение двух неколлинеарных направлений, лежащих в этой плоскости. Она нужна для построения уравнений плоскостей, расстояний и углов в пространственных координатных задачах.
$\vec n=(\overrightarrow{AB})\times(\overrightarrow{AC})$
Формула "Параметр пересечения прямой и плоскости" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
$t= -\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A l + B m + C n},\quad x=x_0+lt,\ y=y_0+mt,\ z=z_0+nt$
Формула "Направляющий вектор линии пересечения двух плоскостей" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
$\vec d = \vec n_1 \times \vec n_2$
Формула "Угол между прямыми в пространстве" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
$\cos\varphi = \frac{|\vec u\cdot\vec v|}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}$
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно модулю смешанного произведения соединяющего вектора и двух направлений, деленному на длину их векторного произведения.
$d=\frac{|(\vec p_2-\vec p_1)\cdot(\vec u\times\vec v)|}{\|\vec u\times\vec v\|}$
Если две плоскости параллельны и приведены к одной нормали, расстояние между ними равно модулю разности свободных членов, деленному на длину нормали.
$d=\frac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\quad Ax+By+Cz+D_1=0,\ Ax+By+Cz+D_2=0$
Формула "Проекция точки на плоскость" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
$t=-\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A^2+B^2+C^2},\quad x'=x_0+tA,\ y'=y_0+tB,\ z'=z_0+tC$
Формула "Отражение точки относительно плоскости" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
$P''=P-2\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A^2+B^2+C^2}(A,B,C)$
Формула "Проекция точки на прямую в пространстве" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
$t=\frac{(\vec P-\vec P_0)\cdot\vec v}{\|\vec v\|^2},\quad \vec P' = \vec P_0+t\vec v$
Переход между полярными и декартовыми координатами связывает радиус-вектор и угол точки с ее проекциями на координатные оси.
$x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi,\quad r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \varphi=\operatorname{atan2}(y,x)$
Расстояние между двумя полярными точками находится по теореме косинусов для треугольника с сторонами r1, r2 и углом между радиусами.
$d=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}$
Полярное уравнение прямой задает прямую через расстояние p от полюса до прямой и угол α направления ее нормали, что удобно для задач с лучами и секторами.
$r\cos(\varphi-\alpha)=p$
Полярное уравнение окружности получается из декартовой окружности с центром (a,b) после подстановки x=r cos φ и y=r sin φ.
$r^2-2ar\cos\varphi-2br\sin\varphi+a^2+b^2-R^2=0$
Полярная форма коники с фокусом в полюсе описывает эллипс, параболу или гиперболу через эксцентриситет e и фокальный параметр ℓ.
$r=\frac{\ell}{1+e\cos\varphi}$
Сфера с центром в точке (x0,y0,z0) и радиусом R состоит из всех точек пространства, расстояние от которых до центра равно R.
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$
Сфера по концам диаметра задается условием прямого угла: точка сферы видит отрезок между концами диаметра под углом 90 градусов.
$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)+(z-z_1)(z-z_2)=0$
Касательная плоскость к сфере в точке P перпендикулярна радиусу CP, поэтому ее нормалью служит вектор от центра к точке касания.
$(x_1-x_0)(x-x_1)+(y_1-y_0)(y-y_1)+(z_1-z_0)(z-z_1)=0$
Эллипсоид является замкнутой квадрикой, у которой все три координатных сечения имеют форму эллипсов или окружностей и ограничивают конечное тело.
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
Однополостный гиперболоид имеет две положительные квадратичные координаты и одну отрицательную, а его сечения z=const являются эллипсами.
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
Двуполостный гиперболоид имеет один положительный квадратный член и два отрицательных, поэтому поверхность распадается на две отдельные части.
$\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
Эллиптический параболоид раскрывается вдоль одной оси, а его горизонтальные сечения при z>0 являются эллипсами, поэтому поверхность выглядит как чаша.
$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$
Гиперболический параболоид является седловой поверхностью: в одном вертикальном сечении он раскрывается вверх, а в другом вниз.
$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$
Конус второго порядка является вырожденной квадрикой, у которой сечения z=const дают подобные эллипсы, сходящиеся к вершине.
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$
Цилиндрическая поверхность в пространстве возникает, когда уравнение не содержит одну координату, поэтому плоская кривая протягивается вдоль соответствующей оси.
$F(x,y)=0\quad \text{in 3D, independent of } z$
Перенос начала координат в пространстве заменяет старые координаты точки на новые относительно начала O'(a,b,c), не меняя саму геометрию.
$x'=x-a,\quad y'=y-b,\quad z'=z-c$
Поворот координат на плоскости описывает координаты той же точки в системе осей, повернутой на угол α относительно старой системы.
$x'=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\quad y'=-x\sin\alpha+y\cos\alpha$
Матрица поворота вокруг оси z активно поворачивает точку в плоскости xy на угол θ, оставляя координату z неизменной и сохраняя длины.
$\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
Масштабирование координат умножает каждую координату на свой коэффициент и растягивает или сжимает объект вдоль выбранных осей.
$x'=k_xx,\quad y'=k_yy,\quad z'=k_zz$
Аффинное преобразование точки состоит из линейного преобразования A и последующего сдвига b, сохраняя прямые и отношения точек на одной прямой.
$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$
Обратное аффинное преобразование восстанавливает исходную точку из образа, если матрица линейной части A невырождена и обратима.
$\mathbf{x}=A^{-1}(\mathbf{x}'-\mathbf{b}),\quad \det A\ne0$
Барицентрические координаты точки на отрезке выражают точку как взвешенную сумму концов A и B с коэффициентами, сумма которых равна единице.
$P=(1-t)A+tB,\quad 0\le t\le1$
Барицентрические координаты точки в треугольнике равны отношениям площадей трех малых треугольников к площади исходного треугольника.
$\lambda_A=\frac{S_{PBC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_B=\frac{S_{APC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_C=\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}}$
Расстояние от точки до плоскости равно модулю подстановки координат точки в уравнение плоскости, деленному на длину нормального вектора плоскости.
$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
Производная в точке задается пределом разностного отношения и описывает мгновенную скорость изменения функции. Без этой предельной записи производная превращается в набор правил, а не в проверяемое понятие.
$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
Уравнение касательной строится по точке касания и производной в этой точке. Это первая локальная модель функции и основной мост к линейным приближениям.
$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
Критические точки - это кандидаты на экстремумы, перегибы и другие заметные особенности графика. Они возникают там, где производная обнуляется или вообще не определена, поэтому именно с них удобно начинать исследование функции.
$x_c:\ f'(x_c)=0\ \text{или}\ f'(x_c)\text{ не существует}$
Если функция имеет внутренний экстремум и в этой точке дифференцируема, ее производная обязана быть нулем. Это необходимое, но не достаточное условие, поэтому оно помогает отсеять лишние точки перед более точной проверкой.
$f'(x_0)=0\quad \text{если }x_0\text{ - внутренняя точка экстремума и }f\text{ дифференцируема в }x_0$
