Математика / Численное интегрирование

Квадратура Кленшоу—Кёртиса по пяти косинусным узлам

Квадратура Кленшоу—Кёртиса интегрирует интерполяционный полином на косинусной сетке. Пятиузловая запись включает концы отрезка и точно работает для полиномов степени до пяти.

Опубликовано: 6 ноября 2026 г.Обновлено: 6 ноября 2026 г.

Формула

\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx\frac{f(-1)+f(1)}{15}+\frac8{15}\left[f(-1/\sqrt2)+f(1/\sqrt2)\right]+\frac45f(0)

Схема Проверка на шестой степени

Интеграл x⁶ на [−1,1]: пятиузловая оценка 4/15 и точное значение 2/7.

Обозначения

$f(x)$: интегрируемая функция на стандартном отрезке, единицы функции
$x_k=cos(kπ/4)$: пять узлов, включая оба конца
$1/15,8/15,4/5$: краевые, внутренние и центральный веса

Условия применения

Функция определена во всех пяти узлах на [−1,1]. Конечная формула интегрирует её интерполяционный полином степени до четырёх; симметрия дополнительно обеспечивает точность для пятой степени. Для произвольного [a,b] необходимы линейное преобразование координаты и множитель (b−a)/2.

Ограничения

Если f бесконечна на конце отрезка, непосредственная подстановка невозможна. Пять узлов не дают универсальной оценки ошибки для произвольной функции с узкими пиками или разрывами. Косинусные узлы этой записи включают концы и отличаются от корней полинома Чебышёва без концов.

Подробное объяснение

Узлы Кленшоу—Кёртиса задаются равномерными углами, а не равномерными координатами. При k=0,…,4 координаты равны 1,1/√2,0,−1/√2,−1. После построения полинома через эти значения его интегрируют аналитически; коэффициенты перед значениями f и являются квадратурными весами.

Края имеют малые веса 1/15, соседние с центром точки —8/15, а центр —4/5. Сумма равна 2, то есть длине стандартного отрезка. Это обязательная проверка постоянного множителя. Для x² сумма даёт 2/3, для x⁴ —2/5, а нечётные степени сокращаются за счёт парной симметрии.

Полином интерполяции по пяти точкам имеет степень не выше четырёх. Почему тогда точна пятая степень? Любой полином пятой степени представляется суммой нечётной части, интеграл которой равен нулю, и чётной части степени не выше четырёх. Поэтому квадратура воспроизводит весь такой класс без требования шестой точки.

При удвоении числа угловых интервалов с 4 до 8 прежние точки остаются на сетке: их индексы просто удваиваются. Такая вложенность позволяет повторно использовать дорогие значения функции. Коэффициенты после уточнения нужно пересчитать; сохранение старых весов не даёт корректной новой формулы.

Квадратура связана с полиномами Чебышёва и косинусными преобразованиями, но её задача отличается от вычисления суммы Чебышёва схемой Кленшоу. Здесь требуется площадь под функцией, а не значение уже заданного ряда в одной точке. Совпадение имени не делает два алгоритма взаимозаменяемыми.

Как пользоваться формулой

Приведите границы к [−1,1], записав x=(a+b)/2+(b−a)t/2 и отдельный множитель масштаба (b−a)/2 перед интегралом.
Вычислите функцию в концах, центре и точках ±1/√2 стандартного отрезка; убедитесь, что все пять значений конечны.
Сложите парные значения с одинаковыми весами, добавьте центральный вклад и не забудьте коэффициент преобразования интервала.
Проверьте сумму весов и симметрию, затем сравните результат с более густой вложенной сеткой или независимым интегралом.

Историческая справка

Кленшоу—Кёртис — название квадратурного подхода, основанного на косинусных узлах и интерполяции. В вычислительной математике его сравнивают с гауссовыми формулами: число точных степенных моментов у Гаусса выше, но само по себе это не определяет фактическую точность для всех гладких функций.

Этому вопросу посвящена статья Ллойда Трефетена «Is Gauss Quadrature Better than Clenshaw–Curtis?» в SIAM Review 2008 года. Она рассматривает сходимость и связь метода с чебышёвскими разложениями. Современное изложение различает интерполяционные свойства, повторное использование узлов и реальную ошибку на конкретной функции. Приведённая пятиузловая запись — небольшой точный пример общего метода, а не отдельное историческое открытие.

Историческая линия формулы

Название закреплено за методом Кленшоу—Кёртиса. Статья Трефетена служит источником современного анализа и сравнения, а не свидетельством его авторства исходного метода. Конкретные пять весов получают интегрированием базисных полиномов на указанной сетке.

Пример

Вычислим интеграл x⁴ на [−1,1]. В концах значение равно 1, в точках ±1/√2 оно равно 1/4, в центре равно 0. Подстановка в пятиузловую формулу: I₄=(1+1)/15+(8/15)(1/4+1/4)+(4/5)·0=2/15+4/15=2/5=0,4. Ответ точен. Независимая проверка первообразной x⁵/5 даёт (1−(−1))/5=0,4. Все координаты примера безразмерны. Для шестой степени квадратура даёт 2/15+(8/15)(1/8+1/8)=4/15≈0,2666667, тогда как точный интеграл равен 2/7≈0,2857143. Разность составляет−2/105: пятая степень входит в диапазон точности, шестая уже нет.

Частая ошибка

Не подменяйте точки ±1/√2 равномерными ±1/2: веса относятся к другой геометрии узлов. Не переносите пять коэффициентов на уточнённую сетку без пересчёта. Не забывайте длину интервала при линейной замене. Не путайте квадратуру со схемой Кленшоу для вычисления ряда: входы и результат этих алгоритмов различны.

Практика

Задачи с решением

Постоянная функция

Условие. Вычислите интеграл f=3 на [−1,1] по пяти узлам.

Решение. Сумма весов 2, поэтому квадратура равна 3·2=6. Это совпадает с площадью прямоугольника.

Ответ. 6.

Перенос интервала

Условие. Примените формулу к ∫₀²x²dx.

Решение. x=1+t, dx=dt. Полином (1+t)² интегрируется точно: ∫(1+2t+t²)dt=2+0+2/3=8/3.

Ответ. 8/3≈2,6666667.

Дополнительные источники

https://www.math.stonybrook.edu/~bishop/classes/math401.F09/Trefethen-Quad.pdf
https://epubs.siam.org/doi/10.1137/1.9781611975949.ch19

Связанные формулы

Математика

Узлы Чебышёва: выбор точек для интерполяции

$x_k=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n},\quad k=0,\ldots,n-1$

Узлы Чебышёва — неравномерные точки, сгущённые около концов отрезка. Корни полинома Tₙ дают удобную сетку для интерполяционного полинома степени не выше n−1 и уменьшают наибольший модуль узлового произведения.

Математика

Схема Кленшоу для суммы полиномов Чебышёва

$b_{n+1}=b_{n+2}=0,\quad b_k=c_k+2xb_{k+1}-b_{k+2},\quad S=c_0+xb_1-b_2$

Схема Кленшоу вычисляет конечную сумму S(x)=c₀+ΣcₖTₖ(x) обратной рекурсией. Вместо отдельного построения всех полиномов она хранит два соседних состояния и объединяет вычисление базисных функций с суммированием.

Математика

Квадратура Гаусса—Лежандра с двумя узлами

$G_2=\frac{b-a}{2}\left[f\!\left(m-\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)+f\!\left(m+\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)\right],\quad m=\frac{a+b}{2}$

Двухузловая квадратура Гаусса—Лежандра вычисляет функцию в двух специально выбранных внутренних точках. На конечном отрезке с единичным весом она точно интегрирует любой многочлен степени не выше трёх.