Все формулы РФ

Химия / Растворы

Формула Эйнштейна: вязкость разбавленной суспензии сфер

В разбавленной суспензии твёрдых невзаимодействующих сфер относительная вязкость растёт линейно с объёмной долей φ, коэффициент 2,5 является результатом гидродинамической теории Эйнштейна.

Опубликовано: Обновлено:

РастворыСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаДиагностика условий

Формула

$$\eta=\eta_0(1+2.5\phi)$$
Схема Эйнштейн: разбавленные твёрдые сферы
Эйнштейн: разбавленные твёрдые сферыЭйнштейн: разбавленные твёрдые сферыη/η₀=1+2,5φ010.0131.0320.0251.0650.0381.0970.051.13φη / η₀

Показан малый диапазон объёмной доли; взаимодействия и форма несферических частиц моделью не учитываются.

Обозначения

$η$
вязкость суспензии, Па·с
$η₀$
вязкость дисперсионной среды, Па·с
$φ$
объёмная доля частиц, безразмерная

Условия применения

Формула выводится для ньютоновской жидкости с жёсткими невзаимодействующими сферическими частицами, условием без проскальзывания и малой объёмной долей φ. η₀ — вязкость чистой дисперсионной среды при той же температуре. При росте φ появляются гидродинамические взаимодействия, и линейный член 2,5φ перестаёт быть достаточным.

Ограничения

При φ→0 вязкость возвращается к η₀. С ростом φ взаимодействия и гидродинамические корреляции делают линейную оценку недостаточной. Флоккуляция меняет эффективную объёмную долю и может повысить вязкость намного сильнее линейной оценки.

Подробное объяснение

Формула Эйнштейна задаёт первый, линейный по объёмной доле вклад жёстких сфер в вязкость разбавленной ньютоновской суспензии. Коэффициент 2,5 возникает из гидродинамического возмущения потока одной сферой.

eta0 — вязкость чистой дисперсионной среды при той же температуре и скорости сдвига. При phi→0 относительная вязкость eta/eta0 стремится к единице; формула применима, пока члены порядка phi² неразличимы в точности опыта.

При росте phi появляются парные гидродинамические взаимодействия, а флоккуляция меняет эффективную phi. Поэтому линейная зависимость может недооценить вязкость даже без изменения массы твёрдой фазы.

Для применимости приводят форму и размер частиц, phi, T, скорость сдвига и способ диспергирования. Это отделяет предел изолированных сфер от вязкости реальной концентрированной суспензии. Множитель 1+2,5phi безразмерен, поэтому eta сохраняет единицы eta0. Наклон графика η/η₀ от φ при φ→0 равен 2,5; отклонение от прямой на конечном интервале не опровергает этот предел.

Как пользоваться формулой

  1. Измерьте eta0 чистой ньютоновской среды при той же температуре и скорости сдвига.
  2. Определите объёмную долю отдельных жёстких сфер phi, исключив флоккулы из расчёта.
  3. Найдите относительную вязкость 1+2,5φ, затем умножьте на η₀ и сохраните выбранные единицы вязкости.
  4. Проверьте, что phi достаточно мала и члены порядка phi² не видны в точности измерения.
  5. Укажите форму частиц, T, скорость сдвига и метод диспергирования рядом с оценкой.

Историческая справка

Альберт Эйнштейн в 1906 году опубликовал расчёт вязкости разбавленной суспензии, связанный с его исследованиями броуновского движения и молекулярных размеров. В 1911 году автор опубликовал исправление исходного расчёта; современная формула с коэффициентом 2,5 должна читаться с учётом этой поправки, а не как неизменённая запись работы 1906 года. Позднее исследования концентрированных суспензий потребовали нелинейных зависимостей и учёта формы частиц. Историческая формула остаётся точной именно в ясно оговорённом пределе малой объёмной доли сфер. Результат Эйнштейна стал первым членом ряда по объёмной доле для суспензии твёрдых сфер. Последующие модели добавляют члены φ² и учитывают взаимодействие частиц, форму, агрегирование и неньютоновское течение. Коэффициент 2,5 сохраняет строгий смысл только в пределе изолированных сфер с условиями без проскальзывания.

Историческая линия формулы

Альберт Эйнштейн получил первый член разложения вязкости разбавленной суспензии сфер в 1906 году и исправил расчёт в 1911 году. Коэффициент 2,5 относится к пределу изолированных сфер, а не к концентрированной суспензии. При взаимодействии частиц или несферической форме необходимы последующие члены и другие модели.

Пример

Вязкость дисперсионной среды при температуре опыта равна 2,00 мПа·с. Жёсткие сферические частицы занимают 4,0% объёма суспензии, поэтому φ=0,040. Их вклад в относительную вязкость составляет 2,5·0,040=0,10: η/η₀≈1,10. Умножаем на 2,00 мПа·с и получаем η≈2,20 мПа·с. Проверим результат другим способом: прибавка равна η₀·0,10=0,20 мПа·с. Коэффициент 2,5 и объёмная доля безразмерны, поэтому единицы результата совпадают с единицами η₀. Для массовых процентов потребовался бы предварительный пересчёт с плотностями обеих фаз.

Частая ошибка

φ — объёмная, не массовая доля. Коэффициент 2,5 относится к твёрдым сферическим частицам в пределе разбавления; его нельзя переносить на волокна, капли или концентрированные пасты. Полезная проверка — предел φ→0, где η должна вернуться к η₀. Температуру η и η₀ измеряют одинаково.

Практика

Задачи с решением

Вязкость суспензии при phi=0,040

Условие. η₀=2,00 мПа·с, φ=0,040.

Решение. η=2,00(1+2,5·0,040)=2,00·1,10.

Ответ. η=2,20 мПа·с.

Вязкость при меньшей объёмной доле

Условие. η₀=0,90 мПа·с, φ=0,010.

Решение. η=0,90(1+0,025).

Ответ. η=0,9225 мПа·с.

Дополнительные источники

  • https://doi.org/10.1002/andp.19063240204
  • https://ocw.mit.edu/courses/3-063-polymer-physics-spring-2007/pages/lecture-notes/
  • https://doi.org/10.1002/andp.19113390313

Связанные формулы