Аналитика / Статистические выводы

Точный критерий Мак-Немара для парных бинарных данных

Точный критерий Мак-Немара проверяет изменение доли бинарного исхода в связанных парах. При нулевой гипотезе и фиксированном числе разногласий m число переходов одного направления имеет биномиальное распределение с p=1/2; здесь приведён двусторонний p-value по равным хвостам.

Опубликовано: 8 ноября 2026 г.Обновлено: 8 ноября 2026 г.

Формула

m=b+c,\quad X\mid m\sim\operatorname{Bin}(m,1/2),\quad p_{\mathrm{равн.хв.}}=\min\!\left(1,2\sum_{j=0}^{\min(b,c)}\binom{m}{j}2^{-m}\right)

Схема Точные равные хвосты по дискордантным парам

При m=12 нулевая модель X~Bin(12; 0,5). Для наблюдения b=10 и c=2 красные столбцы X≤2 или X≥10 суммируются в p=0,03857.

Обозначения

$n$: общее число независимых пар с двумя бинарными измерениями, целое число пар
$b$: пары с исходом 1 в первом условии и 0 во втором, целое число от 0 до n
$c$: пары с исходом 0 в первом условии и 1 во втором, целое число от 0 до n
$m=b+c$: число несовпадающих (дискордантных) пар, целое число от 0 до n
$X$: число дискордантных пар в одном выбранном направлении; при H₀ условно X~Bin(m, 1/2), целое число от 0 до m
$pравн.хв.$: двустороннее p-value по удвоенному меньшему включительному хвосту, ограниченному сверху единицей, безразмерная вероятность

Условия применения

Каждая пара содержит два бинарных результата для одного и того же участника или корректно сформированной пары; разные пары независимы. Таблица должна сохранять связь внутри пары, а не сводиться к двум независимым долям. Нулевая гипотеза равенства предельных долей эквивалентна условной вероятности 1/2 для каждого направления среди m дискордантных пар. При m=0 критерий не содержит информации о направлении изменений.

Ограничения

Критерий проверяет равенство маргинальных долей и не оценивает все виды зависимости или причинный эффект. Он игнорирует пары с одинаковыми результатами, поэтому мощность определяется числом и направлением дискордантных пар, а не только общим n. «Точный» относится к биномиальному условному распределению; удвоение меньшего хвоста — одна явно выбранная конвенция двустороннего p-value. Другие двусторонние определения могут давать иное число. При нескольких категориях нужен другой критерий; при зависимых парах стандартная модель нарушается.

Подробное объяснение

Для каждого объекта записывают результат в первом и втором условиях. В таблице 2×2 диагональные клетки содержат согласные пары, а две внедиагональные — изменения в противоположных направлениях. Если доли одинаковы, среди пар, которые изменились, нет систематического перевеса одного направления: при фиксированном m вероятность каждого направления равна 1/2.

Пусть b пар перешли из 1 в 0, а c — из 0 в 1. Тогда m=b+c. При нулевой гипотезе число пар в одном направлении распределено как Bin(m, 1/2). Поэтому можно вычислить вероятность хвоста непосредственно суммой биномиальных вероятностей, не используя χ²-аппроксимацию.

В этой статье двусторонний p-value определён по равным хвостам: удваивается меньшая из двух включительных хвостовых вероятностей и результат ограничивается единицей. Симметрия биномиального распределения позволяет записать сумму через r=min(b,c): p=min(1, 2·Σⱼ₌₀ʳ C(m,j)2⁻ᵐ). Указание конвенции важно: слово «двусторонний» само по себе не задаёт единственный алгоритм суммирования дискретных исходов.

Совпадающие пары не входят в хвостовую сумму, так как они не показывают направление изменения. Если b=c, наблюдаемый перевес отсутствует и p=1. Если b значительно больше c или наоборот, хвост становится меньше. При небольшом m возможные p-values образуют редкую сетку, поэтому даже крупное различие долей не всегда даёт малое значение p.

Критерий отвечает на вопрос о статистической совместимости данных с равенством маргинальных долей, а не о размере или практической важности эффекта. Разность выборочных долей равна (c−b)/n при принятой ориентации; её полезно сообщать отдельно. Не следует подменять парную таблицу двумя независимыми группами: это теряет информацию о том, какие именно результаты принадлежали одному объекту.

Как пользоваться формулой

Составьте таблицу 2×2, где строки и столбцы — бинарные исходы в двух условиях; сохраните идентификаторы пар, чтобы не потерять совпадения.
Посчитайте b для переходов 1→0 и c для переходов 0→1. Диагональные пары не включайте в число дискордантных m=b+c.
Сформулируйте нулевую гипотезу равенства предельных долей; условно на m это означает вероятность 1/2 для каждого направления перехода.
Для двустороннего результата используйте заявленную равнохвостовую конвенцию: удвойте P(Bin(m,1/2)≤min(b,c)) и ограничьте результат единицей.
Проверьте хвост точной суммой биномиальных вероятностей или эквивалентной целочисленной суммой; не округляйте b,c до вычисления.
Сообщите таблицу, число дискордантных пар, направление разности и p-value; отдельно укажите, что тест не оценивает величину эффекта.

Историческая справка

Куинн Мак-Немар опубликовал заметку о выборочной ошибке разности коррелированных долей в журнале Psychometrika в 1947 году. Постановка отличалась от сравнения независимых выборок: две доли получены на связанных наблюдениях, поэтому совместная таблица пар содержит информацию, которую нельзя восстановить из отдельных итогов.

Для таблицы 2×2 изменение маргинальных долей определяется двумя внедиагональными клетками. Классическая асимптотическая версия критерия сравнивает их разность с её стандартной ошибкой. Условный точный вариант фиксирует общее число дискордантных пар и использует биномиальный закон с вероятностью 1/2 при нулевой гипотезе. Это позволяет получить конечновыборочное хвостовое вычисление без нормального приближения.

Современные статистические пакеты различают условные точные и асимптотические варианты, а также могут применять разные определения двусторонней вероятности. Поэтому в вычислительном отчёте желательно явно указать, что использованы точные равные хвосты. Название Мак-Немара относится к задаче о коррелированных пропорциях; конкретное правило p-value должно быть описано отдельно, а не выводиться только из фамилии критерия.

Историческая линия формулы

Критерий назван в честь Куинна Мак-Немара, чья заметка 1947 года рассматривала выборочную ошибку разности коррелированных долей. Точный условный вариант использует биномиальную модель дискордантных пар; равнодвухвостовое правило p-value в этой статье указано явно как выбранная конвенция.

Пример

В пилоте 40 операторов выполнили одну и ту же задачу до и после обучения. В 8 парах качество изменилось с «успеха» на «неуспех», а в 2 — наоборот; остальные 30 пар совпали. Проверим, есть ли систематическое изменение долей при уровне значимости 0,05. Обозначим b=8, c=2, поэтому m=10. При нулевой гипотезе B~Bin(10, 1/2). Меньший включительный хвост равен P(B≤2)=(C(10,0)+C(10,1)+C(10,2))/2¹⁰=(1+10+45)/1024=56/1024=0,0546875. Для равных хвостов p=2·0,0546875=0,109375. Так как p>0,05, на этом уровне нет достаточных оснований отвергнуть равенство маргинальных долей. Направление наблюдаемой разности — в пользу ухудшения после обучения, но тест не доказывает нулевой эффект. Проверка: верхний хвост симметричен и имеет ту же вероятность 0,0546875; единицы измерения отсутствуют.

Частая ошибка

Не считайте b и c по отдельным группам: это переходы внутри сопоставленных пар. Не прибавляйте согласные пары к m — при условном тесте они не несут информации о направлении. Не заменяйте точное биномиальное распределение χ²-формулой без проверки, особенно при малом m. Не путайте p-value с вероятностью истинности нулевой гипотезы. Наконец, указывайте равнодвухвостовую конвенцию: некоторые программы используют иное правило для двустороннего точного p-value.

Практика

Задачи с решением

Шесть пар с изменившимся исходом

Условие. В 16 наблюдениях после вмешательства 5 пар изменились с 1 на 0 и одна с 0 на 1. Найдите точное двустороннее p-значение.

Решение. m=5+1=6. Нижний хвост до одного успеха включительно равен (1+6)/64=7/64. Удвоение даёт 14/64.

Ответ. p=0,21875.

Перевес одного направления

Условие. Из 30 пар b=10 изменились 1→0, c=2 — 0→1. Вычислите равнохвостовой точный p-value.

Решение. m=12; меньший хвост P(Bin(12; 0,5)≤2)=(1+12+66)/4096=79/4096. Поэтому p=158/4096=79/2048≈0,0385742.

Ответ. p≈0,03857; результат значим при α=0,05 по выбранной конвенции.

Дополнительные источники

https://doi.org/10.1007/BF02295996
https://support.sas.com/documentation/cdl/en/statug/67523/HTML/default/statug_power_details55.htm
https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/binom.test.html

Связанные формулы

Аналитика

Парный t-критерий: проверка среднего изменения

$t=\frac{\bar d-\mu_{d,0}}{s_d/\sqrt n},\quad d_i=Y_i-X_i$

Парный t-критерий проверяет гипотезу о среднем различии двух связанных измерений. Сначала для каждого объекта вычисляют разность, затем сравнивают среднюю разность с заданным значением с учётом её выборочного разброса.

Аналитика

Доверительный интервал для разности долей

$(p_1-p_2)\pm z\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$

Доверительный интервал для разности долей: формула (p_1-p_2)\pm z\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется оценить диапазон возможного uplift между группами. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Аналитика

Критерий хи-квадрат независимости

$\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$

Критерий хи-квадрат независимости: формула \chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E} помогает величины chi, O, E заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Аналитика

Доверительный интервал для доли

$\hat p\pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$

Доверительный интервал для доли: формула \hat p\pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} помогает величины p, z, n заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.