Все формулы РФ

Физика / Молекулярная физика

Коэффициент диффузии через механическую подвижность

Связь Эйнштейна D = μkT соединяет коэффициент диффузии с механической подвижностью частицы μ, определённой отношением установившейся скорости к силе.

Опубликовано: Обновлено:

Молекулярная физикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаФормулы высшей физики

Формула

$$D=\mu kT$$
График D, 10⁻¹² м²/с и T, К
D, 10⁻¹² м²/с в зависимости от T, КD, 10⁻¹² м²/с02000,7462501,493002,243502,98400T, К

Механическая подвижность μ = 5 · 10⁸ м/(Н·с) принята постоянной.

Обозначения

$D$
коэффициент диффузии, м²/с
$μ$
механическая подвижность, v/F, м/(Н·с)
$k$
постоянная Больцмана, Дж/К
$T$
абсолютная температура, К

Условия применения

Система близка к равновесию, сила мала, отклик линейный, а механическая подвижность определена как установившаяся скорость делённая на силу. Температура постоянна и выражена в К.

Ограничения

Формула не использует электрическую подвижность qτ/m без преобразования. Она нарушается при сильной внешней силе, памяти среды, активном движении или неравновесии. Для вращения и сложной частицы μ должна быть соответствующей механической величиной.

Подробное объяснение

Подвижность μ показывает, насколько быстро частица движется под действием слабой силы: v = μF. Связь D = μkT утверждает, что одинаковое сопротивление среды одновременно задаёт и случайное тепловое блуждание, и отклик на внешнее воздействие. Чем выше T, тем сильнее диффузия при той же подвижности.

Здесь μ имеет механический смысл. Если сила измеряется в Н, а скорость в м/с, μ имеет единицы м/(Н · с). Электрическая подвижность обычно относится к скорости заряда в электрическом поле и содержит заряд; её нельзя бездумно подставлять в D = μkT.

Размерность проверяется: Дж · м/(Н · с) = (Н · м) · м/(Н · с) = м²/с. Формула применима в линейном отклике, когда среда быстро возвращается к равновесию после слабого воздействия.

Связь объясняет, почему вязкость влияет сразу на два явления: она уменьшает механическую подвижность и коэффициент диффузии. При нагреве D растёт, если μ не меняется слишком сильно; в жидкости μ сама зависит от вязкости и температуры.

В эксперименте сначала измеряют установившуюся скорость при известной силе, находят μ = v/F, затем подставляют абсолютную T. Это не формула для вычисления траектории или дрейфа при большой силе.

Как пользоваться формулой

  1. Опишите процесс и укажите постоянные величины.
  2. Переведите все данные в СИ и температуру в К.
  3. Выразите неизвестную величину символически.
  4. Подставьте реальные числа и сохраните промежуточный результат.
  5. Проверьте знак, размерность и физический предел.

Историческая справка

Связь диффузии и подвижности возникла из объединения статистического описания броуновского движения с теорией линейного отклика. Эйнштейн в 1905 году вывел соотношение между средним квадратом смещения и диффузией, а последующая работа Смолуховского и эксперименты Перрена укрепили молекулярную интерпретацию. В XX веке соотношение Эйнштейна стало частным случаем более общей флуктуационно-диссипативной связи: тепловые флуктуации и сопротивление движению определяются одной средой. Формула D = μkT относится к слабому механическому воздействию и равновесной температуре; в электрических системах существуют аналогичные, но не тождественные определения подвижности. Современные приложения включают коллоиды, мембраны и микрореологию.

Историческая линия формулы

Связь D = μkT обычно называют соотношением Эйнштейна для броуновского движения. Важна точная трактовка μ: это механическая подвижность v/F в линейном режиме; электрическая подвижность требует отдельного определения. В этой записи важны равновесная среда и точно определённая наблюдаемая величина.

Пример

Микрочастица имеет установившуюся скорость v = 2,0 · 10⁻⁶ м/с под силой F = 4,0 · 10⁻¹⁵ Н при T = 300 К. Механическая подвижность μ = v/F = 5,0 · 10⁸ м/(Н · с). Тогда D = μkT = 5,0 · 10⁸ · 1,380649 · 10⁻²³ · 300 = 2,07097 · 10⁻¹² м²/с. Ответ: D≈2,07 · 10⁻¹² м²/с. Подстановка электрической подвижности дала бы величину с другим физическим смыслом и была бы ошибкой. Полученная подвижность относится к слабой силе и установившемуся дрейфу. Если сила вырастет настолько, что среда ответит нелинейно, отношение v/F перестанет быть тем же коэффициентом. Число D описывает равновесный разброс перемещений, а не скорость под действием указанной силы.

Частая ошибка

Здесь подвижность определяется как v/F, а не v/E электрического поля. При электрическом определении появляется заряд и другая формула. Температура нужна в кельвинах. Пропорциональность D температуре при сравнении состояний допустима только при неизменной μ, тогда как в жидкости вязкость и подвижность обычно тоже меняются.

Практика

Задачи с решением

Подвижность частицы

Условие. v = 3,0 · 10⁻⁶ м/с, F = 6,0 · 10⁻¹⁵ Н, T = 290 К.

Решение. μ = 5,0 · 10⁸; D = 5,0 · 10⁸ · 1,380649 · 10⁻²³ · 290 = 2,002 · 10⁻¹² м²/с.

Ответ. D≈2,00 · 10⁻¹² м²/с

Температурный масштаб

Условие. При постоянной μ коэффициент D при 300 К равен 1,5 · 10⁻¹² м²/с. Найдите D при 450 К.

Решение. D₂/D₁ = T₂/T₁ = 1,5; D₂ = 2,25 · 10⁻¹² м²/с.

Ответ. D₂ = 2,25 · 10⁻¹² м²/с

Дополнительные источники

  • https://ocw.mit.edu/courses/18-366-random-walks-and-diffusion-fall-2006/0a8bdd9c04730a715ad5d54640a3702a_lec14.pdf
  • https://goldbook.iupac.org/terms/view/12260

Связанные формулы

Физика

Первый закон Фика для диффузионного потока

$J=-D\frac{dc}{dx}$

Первый закон Фика связывает поток вещества J с градиентом концентрации: частицы диффундируют в сторону убывания c, а коэффициент D задаёт интенсивность переноса.