Математика / Численное решение линейных систем

Число обусловленности матрицы в бесконечной норме

Число обусловленности в бесконечной норме равно произведению максимальных сумм модулей по строкам исходной и обратной матриц. Оно показывает, насколько сильно решение системы может отреагировать на изменение правой части.

Опубликовано: 4 ноября 2026 г.Обновлено: 4 ноября 2026 г.

Численное решение линейных систем Страницы с задачами и решениями Есть историческая справка Диагностика условий

Формула

\kappa_\infty(A)=\|A\|_\infty\|A^{-1}\|_\infty

Схема Обусловленность diag(1;t)

При t→0 матрица приближается к вырожденной; график начинается с t=0,01.

Обозначения

$A$: квадратная невырожденная матрица системы Ax=b, зависит от модели
$||A||_infinity$: max_i sum_j |a_ij|, индуцированная бесконечная норма, единицы A
$kappa_infinity(A)$: произведение норм A и A^(−1), безразмерное

Условия применения

A должна быть квадратной и обратимой; иначе A^(−1) и число обусловленности не существуют. Обе нормы берут в одной и той же индуцированной бесконечной норме: ||A||_infinity=max_i sum_j|a_ij|. Оценки чувствительности относятся к малым относительным возмущениям и к согласованным нормам; при нулевых компонентах относительные оценки требуют аккуратной формулировки.

Ограничения

kappa_infinity — верхняя мера худшего направления, не процент ошибки конкретного решения. Она характеризует математическую задачу, тогда как невязка ||b−Ax_hat|| характеризует конкретное вычисление. Маленькая невязка при большой обусловленности не гарантирует малую прямую ошибку; однако большая обусловленность не делает любой результат автоматически бесполезным.

Подробное объяснение

Бесконечная норма матрицы равна максимальной сумме модулей в строке и согласована с максимум-нормой вектора. Если b меняется на delta b, обратное преобразование A^(−1) может усилить это изменение. Произведение нормы A и нормы A⁻¹ сравнивает масштаб прямого и обратного отображений.

Для диагональной матрицы diag(1,0.01) прямая норма равна 1, а обратная имеет элемент 100, поэтому kappa=100. Малый второй коэффициент не создаёт ошибку сам по себе, но делает второй компонент решения чувствительным к данным.

При малом возмущении правой части стандартная оценка связывает относительную ошибку решения с kappa(A) и относительным возмущением b. Это объясняет, почему число обусловленности надо читать вместе с масштабом данных и невязкой.

На практике обратную матрицу обычно не строят только ради kappa: используют оцениватели нормы решения A z=v. Но определение через A^(−1) остаётся точным ориентиром для ручных матриц и смысла величины.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что A квадратная и невырожденная, иначе число обусловленности в этой форме не определено.
Найдите максимум сумм модулей строк A и запишите его как ||A||_infinity в согласованной норме.
Найдите или оцените ту же норму A^(−1), не смешивая её с другой нормой.
Перемножьте две нормы и сопоставьте результат с ожидаемым уровнем возмущения данных.
Проверьте отдельно невязку конкретного решения; не заменяйте ею оценку обусловленности.

Историческая справка

Понятие обусловленности развивалось в XX веке вместе с анализом ошибок округления в вычислительной линейной алгебре. Оно сместило вопрос с одного лишь существования решения к его чувствительности к данным. Систематическое исследование ошибок матричных процессов связано, в частности, с Джеймсом Уилкинсоном и его монографией 1963 года «Rounding Errors in Algebraic Processes». Появление электронных вычислений сделало различие между точной задачей и вычисленным ответом практическим: даже устойчивый алгоритм не может устранить чувствительность, уже заложенную в A. Нормовые числа обусловленности позволили выражать эту чувствительность независимо от конкретной единицы измерения и связывать относительные возмущения с относительной ошибкой. Бесконечная норма получила отдельную роль благодаря простому построчному расчёту и связи с максимум-нормой вектора.

Историческая линия формулы

У числа обусловленности нет единственного автора: это понятие сформировалось в теории ошибок и численном анализе. Уилкинсона корректно называть важным разработчиком анализа округлений, но не единственным создателем самой формулы.

Пример

Для A=diag(1;0,01): ||A||_∞=1, ||A^{-1}||_∞=100, κ∞=100. Ошибка правой части, усиленная примерно в сто раз в худшем случае, объясняет, почему малый второй диагональный элемент опасен. У diag(1;0,01) максимальная строковая сумма равна 1. Обратная матрица diag(1;100), и её максимальная строковая сумма равна 100; произведение даёт 100. Для diag(2;0,5) обратная diag(0,5;2), поэтому обе максимальные нормы равны 2 и κ∞=4. Норма ||A||∞ — максимальная сумма модулей в строке, а κ∞ сравнивает масштаб прямого и обратного преобразований. Это число безразмерно и показывает возможное усиление относительной ошибки данных.

Частая ошибка

Не вычисляйте kappa для вырожденной матрицы. Не опускайте норму A^(−1). Не смешивайте kappa_infinity с числом в 2-норме. Не истолковывайте kappa=100 как обязательную ошибку 100%; это оценка наихудшей чувствительности. Не заменяйте её одной лишь малой невязкой.

Практика

Задачи с решением

Обусловленность диагональной матрицы

Условие. Найдите κ∞ для diag(2;0,5).

Решение. ||A||∞=max(2;0,5)=2. A⁻¹=diag(0,5;2), поэтому ||A⁻¹||∞=2 и κ∞=4.

Ответ. κ∞=4.

Единичная матрица как контроль

Условие. Проверьте единичную матрицу I₂.

Решение. ||I₂||∞=1 и I₂⁻¹=I₂, значит произведение норм равно 1.

Ответ. κ∞=1.

Дополнительные источники

https://cs357.cs.illinois.edu/textbook/notes/condition.html
https://epubs.siam.org/doi/10.1137/1.9781611977523
https://nhigham.com/2020/03/19/what-is-a-condition-number/

Связанные формулы

Математика

Степенной метод: приближение доминирующего собственного значения

$x_{k+1}=\frac{Ax_k}{\|Ax_k\|},\quad\lambda_k=\frac{x_k^TAx_k}{x_k^Tx_k}$

Степенной метод многократно умножает стартовый вектор на матрицу, поэтому компоненту по простому собственному вектору с наибольшим модулем усиливает быстрее остальных. Нормировка сохраняет направление и предотвращает переполнение.

Математика

Круги Гершгорина: локализация собственных значений матрицы

$|\lambda-a_{ii}|\le\sum_{j\ne i}|a_{ij}|$

Теорема Гершгорина заключает все собственные значения квадратной комплексной матрицы в объединение дисков: центр каждого диска — диагональный элемент строки, радиус — сумма модулей остальных элементов этой строки.

Математика

Пятиточечный шаблон Лапласа на квадратной сетке

$\Delta_hu_{i,j}=\frac{u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1}-4u_{i,j}}{h^2}$

Пятиточечный шаблон приближает оператор Лапласа в внутреннем узле равномерной квадратной сетки. Он складывает центральные разности по двум направлениям и имеет погрешность порядка O(h²) для гладкой функции.