Инженерия / Инженерные измерения

Эффективные степени свободы Уэлча — Саттертуэйта

Формула Уэлча — Саттертуэйта оценивает эффективные степени свободы объединённой стандартной неопределённости. Их используют при приближённом выборе коэффициента охвата, учитывая надёжность отдельных дисперсионных оценок.

Опубликовано: 21 октября 2026 г.Обновлено: 21 октября 2026 г.

Формула

\nu_{eff}=\frac{u_c^4}{\sum_i w_i^4/\nu_i},\qquad u_c^2=\sum_i w_i^2,\quad w_i=c_i u_i

Схема Вклады и надёжность их оценок

ν_eff = 0,0169 / 0,0013 = 13

Обозначения

$u_i$: стандартная неопределённость i-го входа, единица входа
$c_i$: коэффициент чувствительности результата, единица результата / единица входа
$w_i$: вклад стандартной неопределённости в единицах результата, единица результата
$\nu_i$: степени свободы оценки соответствующего вклада, безразмерные
$\nu_{eff}$: приближённые эффективные степени свободы объединённой оценки, безразмерные

Условия применения

Используется сумма квадратов независимых вкладов w_i и обоснованные положительные степени свободы их оценок. Компонент с ν_i = ∞ даёт нулевой член знаменателя, но остаётся в u_c. Приближение и использование распределения Стьюдента требуют условий, изложенных в GUM; коррелированный бюджет нельзя подставлять механически.

Ограничения

Тип B не означает автоматически бесконечные степени свободы: это зависит от надёжности оценки u. Значение ν_eff не является новым числом наблюдений. При сильной ненормальности результата и нелинейности одной формулы недостаточно для гарантии охвата. Коэффициент k = 2 нельзя объявлять точно 95-процентным для любого бюджета.

Подробное объяснение

Объединённая неопределённость получается из оценённых, а не точно известных дисперсий. Малые серии дают менее устойчивые оценки. Эффективные степени свободы описывают эту дополнительную неопределённость самой дисперсионной оценки, позволяя выбрать более осторожный коэффициент охвата при подходящих предпосылках.

В знаменателе стоят четвёртые степени вкладов, делённые на их степени свободы. Поэтому большой и плохо определённый компонент сильнее влияет на ν_eff. Малый вклад с небольшим числом степеней свободы может почти не менять результат, если его четвёртая степень мала. Сравнивать только минимальное ν_i недостаточно.

В числителе u_c⁴ — квадрат общей дисперсии. Единицы четвёртой степени результата сокращаются с такими же единицами знаменателя, поэтому ν_eff безразмерно. Если все вклады умножить на один коэффициент масштаба, эффективные степени свободы останутся прежними.

Для одного вклада формула возвращает его ν. Для двух одинаковых независимых вкладов с одинаковым ν она даёт 2ν. Это полезные граничные проверки программы. Бесконечно надёжный вклад не добавляет члена знаменателя, но повышает общую дисперсию в числителе; исключать его полностью неправильно.

Далее при допустимости приближения используют квантиль распределения Стьюдента для выбранной центральной вероятности. При необходимости округления ν_eff вниз это решение фиксируют. Сам расчёт степеней свободы не подтверждает вероятность охвата: нужны модель результата, корректный бюджет и применимость распределительного приближения.

Как пользоваться формулой

Приведите каждый вклад к единицам результата через чувствительность и отдельно обоснуйте степени свободы его оценки.
Сложите квадраты независимых вкладов, найдите u_c² и возведите эту общую дисперсию в квадрат для числителя.
В знаменателе сложите четвёртые степени вкладов, делённые на их ν; для бесконечного ν соответствующий член равен нулю.
Вычислите ν_eff и проверьте предпосылки выбора коэффициента охвата; не заменяйте ими анализ распределения результата.

Историческая справка

Приближение носит имена Уэлча и Саттертуэйта и связано с оценкой числа степеней свободы для сочетаний дисперсионных оценок. В метрологическом применении GUM JCGM 100:2008 рассматривает эффективные степени свободы в приложении G при выборе коэффициента охвата. Это отдельный этап после построения модели измерения и объединения стандартных неопределённостей. В современной отчётности важно сохранять различие между u_c, степенями свободы и вероятностью охвата: ни одна из этих величин не заменяет остальные. Руководство NIST Technical Note 1297 поддерживает согласованное описание стандартной и расширенной неопределённости. Формула служит приближённым статистическим инструментом, а не универсальной гарантией для любого распределения результата.

Историческая линия формулы

Названия Уэлча и Саттертуэйта относятся к статистическому приближению эффективных степеней свободы. Приведённая форма используется в GUM для независимых вкладов бюджета. Она не приписывает этим авторам всю современную процедуру оценки и оформления неопределённости измерений.

Пример

В учебном бюджете два независимых вклада w₁ = 0,2 мм и w₂ = 0,3 мм имеют степени свободы ν₁ = 4 и ν₂ = 9. Общая дисперсия u_c² = 0,04+0,09 = 0,13 мм², поэтому u_c ≈ 0,360555 мм. Числитель u_c⁴ = 0,0169 мм⁴. Знаменатель 0,2⁴/4 + 0,3⁴/9 = 0,0004+0,0009 = 0,0013 мм⁴. Деление даёт ν_eff = 13. Единицы сокращаются. Независимая проверка после умножения обоих вкладов на 10 даёт 169/13 = 13, как и должно быть при смене масштаба. Коэффициент охвата здесь намеренно не вычисляется: для него сначала выбирают вероятность и проверяют предпосылки приближения Стьюдента.

Частая ошибка

Не подставляйте в числитель u_c² вместо u_c⁴. Не используйте квадраты отдельных вкладов вместо четвёртых степеней в знаменателе. Не исключайте бесконечное ν из общей дисперсии. Не назначайте любому типу B бесконечное ν автоматически. Не трактуйте ν_eff как число измерений и не заявляйте точный охват по одному k = 2.

Практика

Задачи с решением

Одинаковые вклады

Условие. Два независимых вклада по 0,1 В имеют ν = 5 каждый. Найдите ν_eff.

Решение. u_c² = 0,02 В², числитель 0,0004 В⁴. Знаменатель 2·0,1⁴/5 = 0,00004 В⁴. Отношение равно 10.

Ответ. ν_eff = 10.

Один вклад с бесконечным ν

Условие. Два вклада по 0,1 В имеют ν₁ = 5, ν₂ = ∞. Найдите ν_eff.

Решение. Числитель по-прежнему 0,0004 В⁴. Знаменатель 0,1⁴/5 = 0,00002 В⁴, второй член нулевой. Отношение равно 20.

Ответ. ν_eff = 20; второй вклад остаётся в u_c.

Дополнительные источники

https://www.bipm.org/documents/20126/2071204/JCGM_100_2008_E.pdf
https://www.nist.gov/pml/nist-technical-note-1297/nist-tn-1297-appendix-b-coverage-factors

Связанные формулы

Инженерия

Неопределённость типа B при прямоугольном распределении

$u=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{b_+-b_-}{\sqrt{12}},\qquad a=\frac{b_+-b_-}{2}$

Если о входной величине известны границы и внутри них нет оснований предпочитать одни значения другим, прямоугольная модель даёт стандартную неопределённость a/√3. Здесь a — половина ширины интервала.

Инженерия

Неопределённость типа B при треугольном распределении

$u=\frac{a}{\sqrt6},\qquad p(e)=\frac{a-|e|}{a^2},\quad |e|\le a$

Симметричная треугольная модель подходит, когда границы известны, а значения около середины обоснованно вероятнее краевых. Её стандартная неопределённость равна полуширине a, делённой на √6.

Инженерия

Шаг цифрового отсчёта: неопределённость квантования

$u_{res}=\frac{d}{\sqrt{12}},\qquad e\sim U\!\left[-\frac d2,\frac d2\right]$

Если цифровой отсчёт округлён до ближайшего шага d, равномерная модель ошибки округления на интервале ±d/2 даёт стандартную неопределённость d/√12. Шаг дисплея сам по себе не равен точности прибора.

Инженерия

Коррелированные входы: ковариация в неопределённости

$u_c^2(y)=c_1^2u_1^2+c_2^2u_2^2+2c_1c_2r u_1u_2,\qquad c_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}$

Если входы измерительной модели связаны общим источником, к сумме квадратов добавляют ковариационный член. Его знак зависит и от корреляции, и от знаков чувствительностей результата к каждому входу.