Все формулы РФ

Инженерия / Инженерные измерения

Шаг цифрового отсчёта: неопределённость квантования

Если цифровой отсчёт округлён до ближайшего шага d, равномерная модель ошибки округления на интервале ±d/2 даёт стандартную неопределённость d/√12. Шаг дисплея сам по себе не равен точности прибора.

Опубликовано: Обновлено:

Инженерные измеренияСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаМетрология и обработка эксперимента

Формула

$$u_{res}=\frac{d}{\sqrt{12}},\qquad e\sim U\!\left[-\frac d2,\frac d2\right]$$
Схема Цифровая ячейка отсчёта 23,4 °C
Цифровая ячейка отсчёта 23,4 °CЦифровая ячейка отсчёта 23,4 °C23,3523,4 °C23,45d/2d/2Полная ширина d = 0,1 °C; u = d/√12

Полная ширина d = 0,1 °C; u = d/√12

Обозначения

$d$
шаг изменения цифрового отсчёта, единица измеряемой величины
$e$
ошибка округления в принятой модели, единица измеряемой величины
$u_{res}$
стандартная неопределённость от разрешения, единица измеряемой величины
$U$
обозначение непрерывного равномерного распределения, не применяется

Условия применения

Отсчёт округляется до ближайшего кратного d, а положение истинного неокруглённого значения внутри ячейки считают равномерным. Границы этой ячейки находятся на расстоянии d/2 от отображённого числа. Модель оценивает только квантование и требует проверки режима округления и единицы шага.

Ограничения

При усечении интервал смещён и нужна поправка к оценке. Цена младшего разряда не включает все ошибки прибора. Если составляющая разрешения уже учтена в другом вкладе, её нельзя добавлять повторно. Одинаковые повторные отсчёты не создают независимых реализаций квантования и не оправдывают деление u на √n.

Подробное объяснение

Цифровой экран заменяет диапазон возможных входных значений одним числом. При округлении до ближайшего шага отсчёт 10,0 с шагом 0,1 соответствует ячейке от 9,95 до 10,05. Полуширина такой ячейки равна половине шага, а не всему шагу. Это источник коэффициента √12.

Если неизвестное положение внутри ячейки описывают равномерным законом, дисперсия ошибки равна (d/2)²/3 = d²/12. Стандартное отклонение имеет тот же размер, что и отсчёт. Формула является конкретным применением прямоугольной модели, но её практическая задача — правильно определить границы цифровой ячейки и не спутать разрешение с паспортной точностью.

При усечении положительного значения вниз ошибка относительно показания находится, например, от 0 до d. Дисперсия вокруг середины всё ещё d²/12, но математическое ожидание смещено на d/2. Требуется скорректировать оценку, а не только прикрепить прежнее u к некорректному центру.

Если значения повторяются без изменения, неизвестное положение внутри одной и той же ячейки может оставаться общим для всей серии. Поэтому усреднение одинаковых цифр не уменьшает этот компонент автоматически. При наличии колебаний, пересекающих границы ячеек, нужно рассматривать уже полную модель наблюдений и возможное включение квантования в оценённый разброс.

Увеличение числа отображаемых разрядов уменьшает только шаг d, если дополнительные цифры действительно несут информацию. Оно не устраняет смещение датчика и неопределённость калибровки. В бюджете стоит отдельно показать происхождение каждого вклада и проверить, какие из них уже включают цифровое разрешение.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите фактический шаг d в единицах отсчёта и проверьте, округляет ли прибор к ближайшему значению или усекает.
  2. Для округления задайте ячейку ±d/2; для другого режима найдите её центр и предусмотрите необходимую поправку.
  3. Вычислите d/√12 как стандартную неопределённость разрешения, сохранив единицу и отдельное название компонента.
  4. Проверьте повторный учёт и зависимость в серии отсчётов; не уменьшайте компонент делением на √n без модели независимости.

Историческая справка

Цифровое разрешение рассматривается в GUM JCGM 100:2008 как пример информации, ограничивающей возможные значения входа. Его метрологический смысл состоит не в устройстве дисплея, а в переходе от непрерывного значения к конечному шагу представления. В современной процедуре построения бюджета эту информацию переводят в стандартную неопределённость по распределению внутри ячейки. Подход NIST к оценкам типа B также требует назвать исходные сведения и выбранную модель. Такой язык позволяет одинаково описать цифровой прибор и округлённый сохранённый результат. Формула d/√12 не является универсальным законом точности электроники: она следует из дисперсии равномерного распределения и конкретного правила округления, которое проверяют отдельно.

Историческая линия формулы

Это частный случай равномерной модели с полной шириной ячейки d. GUM и NIST задают подход к выражению такой ограниченной информации через стандартную неопределённость. У формулы нет отдельного персонального авторства, а применимость определяется режимом цифрового преобразования.

Пример

Термометр показывает 23,4 °C с шагом d = 0,1 °C и округляет до ближайшего значения. Для учебного расчёта принимаем равномерное положение внутри цифровой ячейки 23,35…23,45 °C. Полуширина равна 0,05 °C. Тогда u_res = 0,05/√3 = 0,1/√12 ≈ 0,0288675 °C; дисперсия равна 0,000833333 °C². Это лишь вклад округления, а не полная неопределённость температуры. Если экран пять раз подряд показывает 23,4 °C, полученная граница знания о положении внутри ячейки сама по себе не сужается. Нельзя делить 0,0288675 на √5 без дополнительных предпосылок о поведении входного сигнала и независимости ошибок.

Частая ошибка

Не используйте полный шаг d как полуразмах: получите вдвое больший компонент. Не считайте разрешение полной точностью. Не оставляйте центр ячейки без поправки при усечении. Не добавляйте квантование повторно, если оно уже включено в оценённый вклад. Не уменьшайте неопределённость по числу одинаковых цифр.

Практика

Задачи с решением

Шаг весов

Условие. Шаг округления цифровых весов d = 2 г. Найдите компонент разрешения.

Решение. Ячейка имеет полуразмах 1 г. u = 1/√3 = 2/√12 ≈ 0,577350 г; другие компоненты весов здесь не включены.

Ответ. Около 0,577 г.

Усечение вниз

Условие. Положительное время усекается вниз с шагом 0,1 с. Какую поправку и u даёт равномерная модель ячейки?

Решение. Неокруглённое время лежит от показания до показания+0,1 с. Середина требует поправки +0,05 с. Отклонение от середины имеет u = 0,1/√12 ≈ 0,0288675 с.

Ответ. Поправка +0,05 с; u ≈ 0,0289 с.

Дополнительные источники

  • https://www.bipm.org/documents/20126/2071204/JCGM_100_2008_E.pdf
  • https://www.nist.gov/pml/nist-technical-note-1297/nist-tn-1297-4-type-b-evaluation-standard-uncertainty

Связанные формулы

Инженерия

Неопределённость типа B при прямоугольном распределении

$u=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{b_+-b_-}{\sqrt{12}},\qquad a=\frac{b_+-b_-}{2}$

Если о входной величине известны границы и внутри них нет оснований предпочитать одни значения другим, прямоугольная модель даёт стандартную неопределённость a/√3. Здесь a — половина ширины интервала.

Инженерия

Неопределённость типа B при треугольном распределении

$u=\frac{a}{\sqrt6},\qquad p(e)=\frac{a-|e|}{a^2},\quad |e|\le a$

Симметричная треугольная модель подходит, когда границы известны, а значения около середины обоснованно вероятнее краевых. Её стандартная неопределённость равна полуширине a, делённой на √6.

Инженерия

Коррелированные входы: ковариация в неопределённости

$u_c^2(y)=c_1^2u_1^2+c_2^2u_2^2+2c_1c_2r u_1u_2,\qquad c_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}$

Если входы измерительной модели связаны общим источником, к сумме квадратов добавляют ковариационный член. Его знак зависит и от корреляции, и от знаков чувствительностей результата к каждому входу.

Инженерия

Эффективные степени свободы Уэлча — Саттертуэйта

$\nu_{eff}=\frac{u_c^4}{\sum_i w_i^4/\nu_i},\qquad u_c^2=\sum_i w_i^2,\quad w_i=c_i u_i$

Формула Уэлча — Саттертуэйта оценивает эффективные степени свободы объединённой стандартной неопределённости. Их используют при приближённом выборе коэффициента охвата, учитывая надёжность отдельных дисперсионных оценок.