Инженерия / Инженерные измерения

Неопределённость типа B при прямоугольном распределении

Если о входной величине известны границы и внутри них нет оснований предпочитать одни значения другим, прямоугольная модель даёт стандартную неопределённость a/√3. Здесь a — половина ширины интервала.

Опубликовано: 21 октября 2026 г.Обновлено: 21 октября 2026 г.

Формула

u=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{b_+-b_-}{\sqrt{12}},\qquad a=\frac{b_+-b_-}{2}

Схема Равномерный закон на [−a, a]

Площадь = 1; дисперсия = a²/3

Обозначения

$b_-,b_+$: нижняя и верхняя границы распределения входа, единица входной величины
$a$: полуширина интервала, единица входной величины
$u$: стандартная неопределённость входа, единица входной величины
$m$: середина интервала и оценка математического ожидания, единица входной величины

Условия применения

Нужно обосновать конечные границы и отсутствие предпочтения значений внутри интервала. Распределение равномерно на всём промежутке, а вне его плотность равна нулю. Оценка входа находится в середине m = (b₊+b₋)/2; формула относится к стандартному отклонению вокруг этой середины.

Ограничения

Границы не всегда достоверно известны, а паспортный допуск может иметь другой смысл и распределение. Если центральные значения вероятнее краевых, прямоугольная модель не отражает это знание. Не следует повторно включать тот же источник в бюджет под другим названием или считать u гарантированной границей ошибки.

Подробное объяснение

Стандартная неопределённость — величина масштаба стандартного отклонения выбранного распределения. Полуширина a описывает крайнее отклонение от середины интервала, а u описывает второй момент. Поэтому они не равны: равномерное распределение содержит много значений ближе к центру, чем к краям.

Пусть отклонение e равномерно распределено от −a до a. Его среднее равно нулю по симметрии. Дисперсия получается интегрированием e² с постоянной плотностью 1/(2a): результат a²/3. Извлечение корня даёт u = a/√3. Если исходный интервал несимметричен относительно нуля, сначала вычитают его середину.

Ширина интервала b₊−b₋ равна 2a, поэтому запись через полную ширину содержит √12. Путаница между шириной и полушириной даёт двукратную ошибку. Единица при делении на безразмерный корень не меняется: неопределённость длины остаётся длиной.

Тип B описывает способ оценки на основе имеющейся информации, а не утверждение о «неслучайности» ошибки. Для типа B тоже задают вероятностную модель. В отличие от стандартной неопределённости среднего серии, здесь не делят результат на √n без отдельной модели независимого повторения этой составляющей.

Полученный u включают в модель измерения через соответствующий коэффициент чувствительности. Если известно смещение, его обычно корректируют, а неопределённость коррекции учитывают отдельно. Не стоит скрывать известное смещение внутри симметричного интервала, просто увеличив его ширину.

Как пользоваться формулой

Установите смысл нижней и верхней границ по источнику; убедитесь, что равномерная модель согласуется с имеющейся информацией.
Найдите середину и полуширину интервала; отдельно запишите полную ширину, чтобы не перепутать коэффициент пересчёта.
Разделите полуширину на √3 без раннего округления; сохраните единицу входной величины и основание выбора модели.
Включите вклад в бюджет через чувствительность, исключив повторный учёт того же ограничения в другой составляющей.

Историческая справка

Оценивание по ограниченному интервалу входит в международный подход к выражению неопределённости измерений. Руководство JCGM 100:2008, известное как GUM, рассматривает прямоугольное распределение в разделе об оценках типа B. В этой системе исходят из доступной информации о входной величине и переводят её в дисперсию, совместимую с другими составляющими бюджета. NIST Technical Note 1297 использует тот же принцип в практических рекомендациях. Исторический смысл стандартизации состоит в переходе от неоднозначных слов о «точности» к явно заданной модели и воспроизводимому расчёту. Формула a/√3 следует из второго момента равномерного распределения; ей не требуется персональная атрибуция или рассказ об отдельном изобретении для каждого вида прибора.

Историческая линия формулы

Формула опирается на дисперсию непрерывного равномерного распределения. GUM JCGM 100:2008 и руководство NIST служат источниками метрологического применения этой модели. Они стандартизируют описание неопределённости, но не рассматриваются как авторы самого математического распределения.

Пример

После учёта известной поправки остаточное отклонение длины принято равномерным от −0,30 до +0,30 мм. Это заданная модель задачи, а не универсальная характеристика прибора. Полуширина a = 0,30 мм; стандартная неопределённость u = 0,30/√3 ≈ 0,173205 мм. Дисперсия u² = 0,03 мм². Независимая проверка через полную ширину 0,60 мм даёт 0,60/√12 — тот же ответ. Значение u меньше границы 0,30 мм, что согласуется со смыслом стандартного отклонения. В рабочем отчёте можно округлить u до 0,17 мм с сохранением достаточных цифр в промежуточном бюджете. Нельзя объявлять интервал ±u гарантированным диапазоном всех возможных отклонений.

Частая ошибка

Не делите полную ширину на √3: сначала нужен полуразмах. Не называйте стандартную неопределённость максимальной ошибкой. Не делите постоянную паспортную составляющую на √n без обоснования независимости повторений. Не выбирайте распределение только ради меньшего числа и не учитывайте одни границы дважды.

Практика

Задачи с решением

Несимметричный интервал

Условие. Вход равномерно распределён от 9,8 до 10,4 мм. Найдите оценку и u.

Решение. Середина равна 10,1 мм. Ширина 0,6 мм, полуширина 0,3 мм. u = 0,3/√3 ≈ 0,173205 мм.

Ответ. 10,1 мм; u ≈ 0,1732 мм.

Масштабирование границ

Условие. Как изменится u, если обоснованная полуширина равномерного отклонения увеличится с 0,12 до 0,24 В?

Решение. Исходное u = 0,12/√3 ≈ 0,069282 В. Новое u ≈ 0,138564 В. Формула линейна по полуширине.

Ответ. Увеличится вдвое: примерно с 0,0693 до 0,1386 В.

Дополнительные источники

https://www.bipm.org/documents/20126/2071204/JCGM_100_2008_E.pdf
https://www.nist.gov/pml/nist-technical-note-1297/nist-tn-1297-4-type-b-evaluation-standard-uncertainty

Связанные формулы

Инженерия

Неопределённость типа B при треугольном распределении

$u=\frac{a}{\sqrt6},\qquad p(e)=\frac{a-|e|}{a^2},\quad |e|\le a$

Симметричная треугольная модель подходит, когда границы известны, а значения около середины обоснованно вероятнее краевых. Её стандартная неопределённость равна полуширине a, делённой на √6.

Инженерия

Шаг цифрового отсчёта: неопределённость квантования

$u_{res}=\frac{d}{\sqrt{12}},\qquad e\sim U\!\left[-\frac d2,\frac d2\right]$

Если цифровой отсчёт округлён до ближайшего шага d, равномерная модель ошибки округления на интервале ±d/2 даёт стандартную неопределённость d/√12. Шаг дисплея сам по себе не равен точности прибора.

Инженерия

Коррелированные входы: ковариация в неопределённости

$u_c^2(y)=c_1^2u_1^2+c_2^2u_2^2+2c_1c_2r u_1u_2,\qquad c_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}$

Если входы измерительной модели связаны общим источником, к сумме квадратов добавляют ковариационный член. Его знак зависит и от корреляции, и от знаков чувствительностей результата к каждому входу.

Инженерия

Эффективные степени свободы Уэлча — Саттертуэйта

$\nu_{eff}=\frac{u_c^4}{\sum_i w_i^4/\nu_i},\qquad u_c^2=\sum_i w_i^2,\quad w_i=c_i u_i$

Формула Уэлча — Саттертуэйта оценивает эффективные степени свободы объединённой стандартной неопределённости. Их используют при приближённом выборе коэффициента охвата, учитывая надёжность отдельных дисперсионных оценок.