Инженерия / Инженерные измерения

Неопределённость типа B при треугольном распределении

Симметричная треугольная модель подходит, когда границы известны, а значения около середины обоснованно вероятнее краевых. Её стандартная неопределённость равна полуширине a, делённой на √6.

Опубликовано: 21 октября 2026 г.Обновлено: 21 октября 2026 г.

Формула

u=\frac{a}{\sqrt6},\qquad p(e)=\frac{a-|e|}{a^2},\quad |e|\le a

Схема Треугольный закон на [−a, a]

Площадь = 1; дисперсия = a²/6

Обозначения

$e$: отклонение от середины интервала, единица входа
$a$: максимальный модуль отклонения в принятой модели, единица входа
$p(e)$: плотность вероятности отклонения, обратная единица входа
$u$: стандартная неопределённость, единица входа

Условия применения

Распределение симметрично относительно выбранной оценки входа и имеет границы ±a. Плотность максимальна в центре и линейно снижается до нуля на краях. Такое предпочтение центральных значений должно следовать из информации о процессе, а не из желания уменьшить неопределённость бюджета.

Ограничения

Для асимметричного треугольного закона формула с одним a недостаточна. Одних конечных границ мало для выбора треугольной модели; при отсутствии другой информации обычно рассматривают равномерную. Достоверность границ и закон распределения влияют на вывод сильнее, чем дополнительные цифры после запятой.

Подробное объяснение

При одинаковых границах треугольная плотность сильнее сосредоточена около середины, чем прямоугольная. Поэтому средний квадрат отклонения меньше. Это содержательное предположение о знании входа: крайние значения допускаются, но имеют меньшую плотность, чем центральные.

Высота треугольника должна быть 1/a, чтобы площадь основания 2a, умноженная на половину высоты, равнялась единице. Отсюда p(e) = (a−|e|)/a². По симметрии среднее отклонение равно нулю, а второй момент можно вычислить как удвоенный интеграл e²(a−e)/a² от 0 до a.

Интегрирование даёт a²/6, поэтому стандартное отклонение равно a/√6. При тех же границах оно в √2 раза меньше прямоугольного a/√3. Это различие вызвано распределением вероятностей, а не улучшением самого прибора или сужением заданных границ.

Модель также получается для суммы двух независимых равномерных отклонений на одинаковых симметричных интервалах. Если каждое лежит от −a/2 до a/2, дисперсии складываются: два раза a²/12 дают a²/6. Этот вывод служит независимой проверкой коэффициента √6.

На практике полезно показать чувствительность итогового бюджета к выбору модели. Если от замены прямоугольного закона треугольным меняется решение о соответствии, основание такого выбора особенно существенно. Стандартная неопределённость не является пределом допуска и не заменяет отдельные правила принятия решения.

Как пользоваться формулой

Установите симметричные границы входа и конкретное основание, по которому центральные значения вероятнее крайних.
Запишите полуширину a; для интервала от нижней до верхней границы разделите его полную ширину на два.
Вычислите a/√6 и сохраните единицу входа; при необходимости проверьте дисперсию как сумму двух равномерных вкладов.
Сравните с прямоугольной моделью при тех же границах и укажите, какая информация обосновывает выбранное распределение.

Историческая справка

Треугольное распределение рассматривается в GUM JCGM 100:2008 как один из способов описать более подробную информацию о входной величине по сравнению с одними границами. Оно связывает геометрически простую плотность с оценкой стандартной неопределённости. В современной метрологической практике выбор распределения документируют вместе с источником границ и другими предположениями бюджета. Руководство NIST Technical Note 1297 также объясняет переход от оценок типа B к стандартным неопределённостям. Исторически этот подход важен согласованием разнородных сведений: сертификат, техническая характеристика и наблюдения могут участвовать в одной модели только после явного задания вероятностного смысла. Сам коэффициент √6 следует из интеграла второго момента, а не из отдельной эмпирической нормы.

Историческая линия формулы

Формула относится к симметричному треугольному распределению и выводится из его второго центрального момента. GUM и NIST задают контекст использования в бюджете неопределённости. Единственный автор математического закона здесь не устанавливается; важно явно назвать форму и границы распределения.

Пример

Для заданного ограниченного отклонения напряжения принята симметричная треугольная плотность на интервале от −0,30 до +0,30 В. Полуширина a = 0,30 В. Получаем u² = 0,30²/6 = 0,015 В² и u ≈ 0,122474 В. При равномерной модели с теми же границами u было бы 0,173205 В; отношение равно √2. Независимая проверка: сумма двух независимых равномерных отклонений от −0,15 до +0,15 В имеет дисперсию 2·0,15²/3 = 0,015 В². Ответ совпадает. Ни один расчёт не означает, что граница ±0,30 В уменьшилась: изменилось предположение о вероятности значений внутри неё. Для отчёта u можно округлить до 0,12 В после объединения нужных вкладов.

Частая ошибка

Не используйте a/√6 для произвольного асимметричного треугольника. Не выбирайте модель только потому, что u получается меньше. Не путайте высоту плотности 1/a с вероятностью отдельного точного значения. Не делите полную ширину на √6 и не объявляйте u новой гарантированной границей отклонения.

Практика

Задачи с решением

Другой полуразмах

Условие. Для симметричного треугольного отклонения с a = 0,12 мм найдите u.

Решение. Дисперсия равна 0,12²/6 = 0,0024 мм². Корень даёт u ≈ 0,0489898 мм.

Ответ. Около 0,0490 мм.

Два равномерных входа

Условие. Сложены два независимых равномерных отклонения, каждое от −0,2 до +0,2 с. Найдите стандартное отклонение суммы.

Решение. Каждая дисперсия 0,2²/3 с². Сумма дисперсий 0,08/3 с²; корень ≈ 0,163299 с. Треугольный полуразмах суммы 0,4 с даёт тот же результат 0,4/√6.

Ответ. Около 0,1633 с.

Дополнительные источники

https://www.bipm.org/documents/20126/2071204/JCGM_100_2008_E.pdf
https://www.nist.gov/pml/nist-technical-note-1297/nist-tn-1297-4-type-b-evaluation-standard-uncertainty

Связанные формулы

Инженерия

Неопределённость типа B при прямоугольном распределении

$u=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{b_+-b_-}{\sqrt{12}},\qquad a=\frac{b_+-b_-}{2}$

Если о входной величине известны границы и внутри них нет оснований предпочитать одни значения другим, прямоугольная модель даёт стандартную неопределённость a/√3. Здесь a — половина ширины интервала.

Инженерия

Шаг цифрового отсчёта: неопределённость квантования

$u_{res}=\frac{d}{\sqrt{12}},\qquad e\sim U\!\left[-\frac d2,\frac d2\right]$

Если цифровой отсчёт округлён до ближайшего шага d, равномерная модель ошибки округления на интервале ±d/2 даёт стандартную неопределённость d/√12. Шаг дисплея сам по себе не равен точности прибора.

Инженерия

Коррелированные входы: ковариация в неопределённости

$u_c^2(y)=c_1^2u_1^2+c_2^2u_2^2+2c_1c_2r u_1u_2,\qquad c_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}$

Если входы измерительной модели связаны общим источником, к сумме квадратов добавляют ковариационный член. Его знак зависит и от корреляции, и от знаков чувствительностей результата к каждому входу.

Инженерия

Эффективные степени свободы Уэлча — Саттертуэйта

$\nu_{eff}=\frac{u_c^4}{\sum_i w_i^4/\nu_i},\qquad u_c^2=\sum_i w_i^2,\quad w_i=c_i u_i$

Формула Уэлча — Саттертуэйта оценивает эффективные степени свободы объединённой стандартной неопределённости. Их используют при приближённом выборе коэффициента охвата, учитывая надёжность отдельных дисперсионных оценок.