Инженерия / Инженерные измерения

Коррелированные входы: ковариация в неопределённости

Если входы измерительной модели связаны общим источником, к сумме квадратов добавляют ковариационный член. Его знак зависит и от корреляции, и от знаков чувствительностей результата к каждому входу.

Опубликовано: 21 октября 2026 г.Обновлено: 21 октября 2026 г.

Формула

u_c^2(y)=c_1^2u_1^2+c_2^2u_2^2+2c_1c_2r u_1u_2,\qquad c_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}

Схема Общий источник в разности сокращается

y = (L₁ + b + e₁) − (L₂ + b + e₂)

Обозначения

$u_1,u_2$: стандартные неопределённости входов, единицы соответствующих входов
$c_1,c_2$: коэффициенты чувствительности, единица результата / единица соответствующего входа
$r$: коэффициент корреляции входов, от −1 до 1, безразмерный
$u_c(y)$: объединённая стандартная неопределённость результата, единица результата

Условия применения

Модель y = f(x₁,x₂) линеаризуется в рабочей точке; для линейной модели формула дисперсии точна. Должны быть обоснованы стандартные неопределённости и коэффициент корреляции. Матрица ковариаций должна быть допустимой; для двух входов это требует |r| ≤ 1 и неотрицательных дисперсий.

Ограничения

Общий прибор не означает автоматически r = 1: у входов могут быть и независимые компоненты. Для сильно нелинейной функции линейное приближение требует проверки. Нельзя выбирать знак ковариации по желаемому результату. Для нескольких входов попарных границ |r| ≤ 1 недостаточно для допустимости всей матрицы.

Подробное объяснение

Для малых отклонений входов изменение результата равно c₁δx₁+c₂δx₂. Квадрат этой суммы содержит два квадрата и перекрёстное произведение. После усреднения последнее даёт 2c₁c₂cov(x₁,x₂). Связь cov = r·u₁u₂ переводит его в привычную запись через коэффициент корреляции.

В сумме y = x₁+x₂ обе чувствительности положительны, и положительная корреляция увеличивает дисперсию. В разности y = x₁−x₂ одна чувствительность отрицательна, поэтому тот же положительный r уменьшает её. Важно учитывать знак производных, а не запоминать правило «корреляция всегда увеличивает неопределённость».

Если оба показания содержат одно и то же аддитивное смещение b, то в разности b−b сокращается. Однако независимый шум каждого показания остаётся. Удобно явно записать входы как истинные части плюс общий источник и независимые остатки: такая модель объясняет ковариацию лучше, чем произвольное назначение r.

При r = 0 формула возвращается к независимому квадратичному сложению. При r = 1 для разности получаем u_c = |u₁−u₂|, а для суммы — u₁+u₂. Это предельные случаи идеальной линейной связи входов, а не универсальные оценки для двух измерений одним прибором.

В матричной форме дисперсия равна cᵀΣc. Такая запись особенно полезна при нескольких входах и служит независимой проверкой знаков. Полученное отрицательное значение дисперсии означает ошибку исходной матрицы, коэффициентов или арифметики: корректная ковариационная модель не даёт отрицательного квадрата неопределённости.

Как пользоваться формулой

Запишите модель результата и найдите чувствительности с их знаками; для разности один из коэффициентов равен −1.
Разделите общие и независимые источники или обоснуйте ковариацию другим способом, не назначая корреляцию по названию прибора.
Сложите квадратичные вклады и перекрёстный член 2c₁c₂r u₁u₂ в единицах квадрата результата.
Проверьте неотрицательность дисперсии и извлеките корень; сравните с матричной записью или явной моделью общего источника.

Историческая справка

Учёт зависимых входов входит в общий закон распространения неопределённости GUM JCGM 100:2008. Руководство различает некоррелированные входы и случай, когда ковариации существенно влияют на результат. Такой подход позволяет описывать общие эталоны и повторно используемые калибровочные параметры в одной модели. NIST Technical Note 1297 также рассматривает объединённую стандартную неопределённость через чувствительности и сведения об источниках. Современная матричная запись не добавляет нового физического закона: она компактно выражает дисперсию линейной комбинации зависимых случайных величин. Исторический контекст здесь — согласованное вероятностное описание измерения, а не приписывание одной формулы отдельному изобретателю или конкретному прибору.

Историческая линия формулы

Ковариационный член следует из дисперсии линейной комбинации случайных величин и включён в закон распространения неопределённости GUM. Формула не имеет отдельного персонального названия. Её применение требует источника зависимости входов и корректной модели чувствительностей.

Пример

Разность двух длин y = x₁−x₂ имеет чувствительности c₁ = 1 и c₂ = −1. Заданы u₁ = 0,2 мм, u₂ = 0,3 мм и обоснованная корреляция r = 0,8. Тогда u_c² = 0,04+0,09−2·0,8·0,2·0,3 = 0,034 мм², u_c ≈ 0,184391 мм. При ошибочном игнорировании корреляции получилось бы √0,13 ≈ 0,360555 мм. Независимая проверка: матрица Σ имеет диагональ 0,04 и 0,09 мм², внедиагональные элементы 0,048 мм²; умножение вектором (1,−1) даёт 0,034 мм². Для суммы тех же длин знак перекрёстного члена меняется, и u_c² = 0,226 мм². Таким образом, один r даёт разные результаты для разных моделей.

Частая ошибка

Не теряйте знак чувствительности при разности. Не принимайте измерение одним прибором за полную корреляцию всех ошибок. Не складывайте абсолютные значения ковариационных членов. Не используйте произвольную матрицу корреляций без проверки допустимости. Не допускайте отрицательной дисперсии как «особого» результата измерения.

Практика

Задачи с решением

Отрицательная корреляция

Условие. В разности при u₁ = 0,2 мм, u₂ = 0,3 мм замените r на −0,8.

Решение. Дисперсия 0,04+0,09−2·(−0,8)·0,2·0,3 = 0,226 мм². Корень ≈ 0,475395 мм.

Ответ. u_c ≈ 0,4754 мм.

Общий сдвиг

Условие. Два показания имеют общий сдвиг b со стандартной неопределённостью 0,2 мм и независимые шумы по 0,1 мм. Найдите u их разности.

Решение. Общий сдвиг сокращается. Остаётся сумма дисперсий независимых шумов 0,01+0,01 = 0,02 мм². Корень ≈ 0,141421 мм.

Ответ. Около 0,1414 мм.

Дополнительные источники

https://www.bipm.org/documents/20126/2071204/JCGM_100_2008_E.pdf
https://www.nist.gov/pml/nist-technical-note-1297/nist-tn-1297-appendix-law-propagation-uncertainty

Связанные формулы

Инженерия

Неопределённость типа B при прямоугольном распределении

$u=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{b_+-b_-}{\sqrt{12}},\qquad a=\frac{b_+-b_-}{2}$

Если о входной величине известны границы и внутри них нет оснований предпочитать одни значения другим, прямоугольная модель даёт стандартную неопределённость a/√3. Здесь a — половина ширины интервала.

Инженерия

Неопределённость типа B при треугольном распределении

$u=\frac{a}{\sqrt6},\qquad p(e)=\frac{a-|e|}{a^2},\quad |e|\le a$

Симметричная треугольная модель подходит, когда границы известны, а значения около середины обоснованно вероятнее краевых. Её стандартная неопределённость равна полуширине a, делённой на √6.

Инженерия

Шаг цифрового отсчёта: неопределённость квантования

$u_{res}=\frac{d}{\sqrt{12}},\qquad e\sim U\!\left[-\frac d2,\frac d2\right]$

Если цифровой отсчёт округлён до ближайшего шага d, равномерная модель ошибки округления на интервале ±d/2 даёт стандартную неопределённость d/√12. Шаг дисплея сам по себе не равен точности прибора.

Инженерия

Эффективные степени свободы Уэлча — Саттертуэйта

$\nu_{eff}=\frac{u_c^4}{\sum_i w_i^4/\nu_i},\qquad u_c^2=\sum_i w_i^2,\quad w_i=c_i u_i$

Формула Уэлча — Саттертуэйта оценивает эффективные степени свободы объединённой стандартной неопределённости. Их используют при приближённом выборе коэффициента охвата, учитывая надёжность отдельных дисперсионных оценок.