Все формулы РФ

Инженерия / Инженерные измерения

Относительная погрешность измерения

Относительная погрешность показывает, какую долю от измеряемого или опорного значения составляет абсолютная погрешность, поэтому удобна для сравнения измерений разного масштаба.

Опубликовано: Обновлено:

Инженерные измеренияФизические величины и измеренияКалькуляторКачество данныхЕсть историческая справка

Формула

$$\delta = \frac{\Delta x}{|x_{\text{ref}}|}\cdot 100\%$$
Сравнительная схема Одна абсолютная ошибка на разных масштабах

Два отрезка разной длины имеют одинаковое отклонение, но процентная доля отклонения у короткого отрезка заметно больше.

Относительная погрешность показывает масштаб ошибки, а не только ее размер в единицах.

Обозначения

$\delta$
относительная погрешность, %
$\Delta x$
абсолютная погрешность измерения, единица измеряемой величины
$x_{\text{ref}}$
опорное или принятое за истинное значение, единица измеряемой величины

Условия применения

  • Опорное значение не равно нулю и выражено в тех же единицах, что абсолютная погрешность.
  • Абсолютная погрешность уже найдена или оценена корректным способом.
  • Нужно получить безразмерную меру ошибки, обычно в процентах.

Ограничения

  • Формула плохо работает рядом с нулевым опорным значением: относительная погрешность становится неустойчивой или бессмысленной.
  • В процентах удобно сравнивать масштаб, но нельзя забывать физические единицы и допуски.
  • Если измеряемая величина может менять знак, нужно явно оговаривать, относительно какого модуля считается доля.

Подробное объяснение

Абсолютная погрешность отвечает на вопрос "на сколько единиц ошиблись", а относительная - "насколько это много по сравнению с самой величиной". Именно поэтому относительная форма полезна при сравнении разных объектов, приборов и диапазонов. Если манометр ошибается на 0,1 бар при давлении 1 бар, это 10%. Если та же абсолютная ошибка возникает при 100 бар, это 0,1%. По числу 0,1 бар нельзя сразу понять, серьезна ли ошибка, а процент дает масштаб.

В инженерных расчетах относительная погрешность особенно важна при выборе средства измерений. Прибор с одной и той же ценой деления может быть достаточным для крупной детали и непригодным для точного узла. Аналогично, датчик с паспортной относительной погрешностью удобно сравнивать с другим датчиком, даже если они измеряют разные диапазоны.

Нужно помнить, что относительная погрешность не отменяет физического смысла задачи. Для посадки подшипника важны микрометры, потому что геометрический зазор имеет конкретный размер. Для расхода материала или энергетического баланса проценты часто удобнее. Хороший инженерный отчет обычно показывает и абсолютное отклонение, и процент, если оба помогают принять решение.

Проблемная зона формулы - малые и нулевые значения. Если опорная величина равна нулю, деление невозможно. Если она очень мала, процент может стать огромным и плохо отражать практический риск. В таких случаях используют абсолютные допуски, предел обнаружения, неопределенность или специальные критерии для нулевой точки.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите или оцените абсолютную погрешность.
  2. Убедитесь, что опорное значение не равно нулю.
  3. Разделите абсолютную погрешность на модуль опорного значения.
  4. Умножьте результат на 100%, если нужен процент.
  5. Сравните процент с требованием к измерению или характеристикой прибора.

Историческая справка

Переход от абсолютных отклонений к относительным оценкам связан с развитием точных измерений, приборостроения и статистической обработки результатов. Когда инженеры начали сравнивать приборы разных диапазонов, стало ясно, что ошибка в одних и тех же единицах не всегда говорит о качестве измерения. В метрологии это привело к привычке разделять абсолютные, относительные и приведенные характеристики. Современные руководства по неопределенности измерений используют более строгий язык стандартной и расширенной неопределенности, но относительная форма остается практичной: ее легко читать, удобно сравнивать и просто использовать в технических требованиях.

Историческая линия формулы

У относительной погрешности нет единственного автора. Это практическое развитие теории ошибок и метрологии: инженеры, физики и статистики постепенно пришли к безразмерному описанию ошибки как доли от измеряемой величины.

Пример

Два размера измерены с абсолютной погрешностью 0,2 мм. Первый размер равен 10,0 мм, второй - 1000,0 мм. Для первого случая delta = 0,2 / 10,0 * 100% = 2%. Для второго delta = 0,2 / 1000,0 * 100% = 0,02%. Абсолютная ошибка одинаковая, но инженерный смысл разный: в маленькой детали 0,2 мм может нарушить посадку, а на метровой заготовке такое отклонение может оказаться допустимым для грубой разметки. Поэтому в отчетах полезно указывать обе величины: абсолютную погрешность в единицах измерения и относительную погрешность в процентах.

Частая ошибка

Самая частая ошибка - делить на измеренное значение, когда по условию нужно делить на опорное, или наоборот, не указав выбранный вариант. Вторая ошибка - забыть умножить на 100% и получить долю вместо процента. Третья ошибка - считать относительную погрешность при опорном значении, близком к нулю, а затем делать из огромного процента неверный вывод о качестве прибора. Также не стоит заменять допуск относительной погрешностью там, где чертеж требует конкретное отклонение в миллиметрах.

Практика

Задачи с решением

Погрешность измерения длины

Условие. Опорная длина равна 250 мм, абсолютная погрешность измерения 0,5 мм. Найдите относительную погрешность.

Решение. delta = 0,5 / 250 * 100% = 0,2%. Значит, ошибка составляет две десятых процента от длины.

Ответ. 0,2%

Сравнение двух измерений

Условие. В первом измерении Delta x = 0,1 мм при размере 5 мм, во втором Delta x = 0,1 мм при размере 100 мм. Где относительная погрешность больше?

Решение. Для первого размера delta = 0,1 / 5 * 100% = 2%. Для второго delta = 0,1 / 100 * 100% = 0,1%. Больше относительная погрешность первого измерения.

Ответ. В первом измерении: 2% против 0,1%

Дополнительные источники

  • NIST Technical Note 1297, terminology and reporting of uncertainty
  • JCGM 100:2008, Guide to the expression of uncertainty in measurement
  • NIST Statistical Engineering Division, Measurement Uncertainty

Связанные формулы

Инженерия

Абсолютная погрешность измерения

$\Delta x = |x_{\text{изм}}-x_{\text{ref}}|$

Абсолютная погрешность показывает, насколько результат измерения отличается от опорного, эталонного или принятого за истинное значения в тех же единицах, что и сама величина.

Инженерия

Приведенная погрешность прибора

$\gamma = \frac{\Delta x_{\max}}{X_N}\cdot 100\%$

Приведенная погрешность показывает максимальную абсолютную погрешность прибора как процент от нормирующего значения, обычно диапазона или верхнего предела измерения.

Инженерия

Распространение неопределенности произведения и частного

$\frac{u_y}{|y|}=\sqrt{\left(\frac{u_a}{a}\right)^2+\left(\frac{u_b}{b}\right)^2},\quad y=a\,b\ \text{или}\ y=\frac{a}{b}$

Для произведения и частного независимых величин удобно складывать относительные стандартные неопределенности по квадратам, а затем умножать результат на модуль итоговой величины.