Физика / Механика

Первый закон Кеплера

Первый закон Кеплера утверждает, что планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце; полярная запись эллипса задает расстояние до фокуса.

Опубликовано: 26 мая 2026 г.Обновлено: 26 мая 2026 г.

Школьная программа Формулы по физике за 10 класс Механика Динамика Есть историческая справка Формулы по физике для ЕГЭ

Формула

r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\nu}

Схема Как читать формулу: первый закон кеплера

Перед подстановкой чисел полезно сверить модель на рисунке: орбита, фокус и заметенная площадь.

Обозначения

$r$: расстояние от фокуса орбиты до тела, м
$a$: большая полуось эллипса, м
$e$: эксцентриситет эллипса, 1
$\nu$: истинная аномалия, угол от направления на перицентр, рад

Условия применения

Движение рассматривается как задача двух тел или как приближение, где масса центрального тела намного больше.
Орбита замкнута и эллиптическая, поэтому эксцентриситет удовлетворяет 0 ≤ e < 1.
Расстояние r отсчитывается от фокуса, а не от геометрического центра эллипса.

Ограничения

Возмущения от других тел, сопротивление атмосферы и несферичность центрального тела меняют орбиту и требуют поправок.
При e = 0 эллипс превращается в окружность, и направление на перицентр становится условным.
Для параболических и гиперболических траекторий используется похожая коническая запись, но это уже не первый закон Кеплера для планеты.

Подробное объяснение

Первый закон Кеплера описывает геометрию орбиты. Он не говорит, с какой скоростью планета идет по разным участкам, а отвечает на вопрос о форме траектории. Эллипс отличается от окружности тем, что имеет два фокуса, и центральное тело находится не в центре, а в одном из них. Поэтому расстояние до Солнца на орбите постоянно меняется.

Полярная формула r = a(1 - e²)/(1 + e cosν) удобна тем, что сразу отсчитывает расстояние от фокуса. Когда ν = 0, тело находится в ближайшей точке орбиты, перицентре. Когда ν = π, оно находится в дальней точке, апоцентре. При нулевом эксцентриситете числитель равен a, знаменатель равен 1, и вся орбита становится окружностью радиуса a.

Физическая причина эллиптической формы раскрывается в ньютоновской механике: гравитационная сила убывает как квадрат расстояния и направлена к центральному телу. В такой задаче возможны конические сечения, а для связанного движения получается эллипс. Поэтому закон Кеплера является не отдельным геометрическим фактом, а следствием центрального гравитационного взаимодействия.

При решении задач полезно различать геометрические параметры орбиты и текущие координаты тела. Большая полуось задает общий размер, эксцентриситет - вытянутость, истинная аномалия - положение на орбите, а r - текущее расстояние до фокуса. Смешение этих величин почти всегда приводит к неверной картине движения.

Как пользоваться формулой

Определите большую полуось орбиты и эксцентриситет.
Убедитесь, что расстояние требуется от фокуса, где находится центральное тело.
Подставьте истинную аномалию ν с правильной угловой единицей.
Проверьте ответ через предельные значения перицентра и апоцентра.

Историческая справка

Кеплер сформулировал свои законы в начале XVII века, анализируя чрезвычайно точные наблюдения Тихо Браге, особенно данные о движении Марса. До этого господствовали круговые модели, потому что круг считался наиболее совершенной траекторией для небесных тел. Кеплер отказался от этого эстетического требования и показал, что эллипс гораздо лучше описывает наблюдения. Первый закон стал переломом в небесной механике: он заменил сложные системы эпициклов простой геометрией конического сечения. Позже Ньютон объяснил законы Кеплера через закон всемирного тяготения и доказал, что эллиптические орбиты возникают при силе, обратно пропорциональной квадрату расстояния.

Историческая линия формулы

Закон назван в честь Иоганна Кеплера, который опубликовал эллиптическую модель планетных орбит в 1609 году. Его эмпирический вывод опирался на наблюдения Тихо Браге, а теоретическое обоснование было дано Ньютоном позднее.

Пример

Пусть спутник движется по эллиптической орбите с большой полуосью 7000 км и эксцентриситетом 0,10. В перицентре ν = 0, поэтому cosν = 1. Получаем r = a(1 - e^2)/(1 + e) = 7000·(1 - 0,01)/1,10 = 7000·0,99/1,10 = 6300 км. В апоцентре ν = π, cosν = -1, и расстояние r = 7000·0,99/0,90 = 7700 км. Эти значения совпадают с краткими формулами rmin = a(1 - e) и rmax = a(1 + e). Проверка по смыслу: при малом эксцентриситете расстояния отличаются от a не резко, а средний масштаб орбиты остается около 7000 км.

Частая ошибка

Распространенная ошибка - помещать Солнце в центр эллипса, хотя закон говорит о фокусе. Другая ошибка - путать большую полуось a с максимальным расстоянием до Солнца: афелий равен a(1 + e), а не просто a. Также нельзя подставлять градусы в вычисления cosν, если калькулятор работает в радианах. В задачах со спутниками важно заменить Солнце на соответствующее центральное тело.

Практика

Задачи с решением

Перицентр орбиты

Условие. Орбита имеет a = 12000 км и e = 0,25. Найдите расстояние в перицентре.

Решение. В перицентре r = a(1 - e) = 12000·0,75 = 9000 км.

Ответ. 9000 км

Апоцентр орбиты

Условие. Для той же орбиты найдите расстояние в апоцентре.

Решение. В апоцентре r = a(1 + e) = 12000·1,25 = 15000 км.

Ответ. 15000 км

Дополнительные источники

OpenStax University Physics: Kepler's Laws of Planetary Motion
NASA Solar System Exploration: Kepler and planetary orbits

Связанные формулы

Физика

Эффективный потенциал в центральном поле

$U_{\text{eff}}(r)=U(r)+\frac{\ell^2}{2mr^2}$

Эффективный потенциал в центральном поле складывается из настоящего потенциала U(r) и центробежного члена, связанного с сохранением момента импульса.

Физика

Первый закон Ньютона

$\sum \vec F=0 \Rightarrow \vec v=\mathrm{const}$

Первый закон Ньютона задает инерциальную систему отсчета: если равнодействующая сил равна нулю, тело сохраняет покой или движется прямолинейно и равномерно.

Физика

Третий закон Ньютона

$\vec F_{12}=-\vec F_{21}$

Третий закон Ньютона утверждает, что силы взаимодействия двух тел равны по модулю, противоположны по направлению и приложены к разным телам.