Все формулы РФ

Математика / Вероятность и статистика

Сложение вероятностей пересекающихся событий

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из двух событий, равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности совместного наступления. Вычитание устраняет двойной учёт общей части событий.

Опубликовано: Обновлено:

Классическая вероятностьВероятность и статистика в школеСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справка

Формула

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
Схема Объединение с общей частью
Объединение событийABобъединение A ∪ B

В объединение входят оба круга; пересечение при сложении отдельных вероятностей учитывается дважды.

Обозначения

A, B
события в одном вероятностном пространстве, безразмерная
$P(A)$
вероятность события A, безразмерная
$P(B)$
вероятность события B, безразмерная
$P(A∩B)$
вероятность совместного наступления событий, безразмерная
$P(A∪B)$
вероятность хотя бы одного события, безразмерная

Условия применения

События A и B определены в одной вероятностной модели, а их вероятности и вероятность пересечения относятся к одному испытанию. Величины должны быть согласованы: пересечение не может превышать ни одну из вероятностей событий, объединение не может превышать единицу.

Ограничения

Если пересечение неизвестно, только двух отдельных вероятностей обычно недостаточно для точного ответа. Произведение P(A)P(B) равно вероятности пересечения лишь при независимости. Для трёх событий нужно учитывать попарные пересечения и затем вернуть тройное пересечение.

Подробное объяснение

Объединение A∪B включает исходы, принадлежащие A, B или обоим событиям. Слово «или» здесь включающее: результат, при котором произошли оба события, тоже входит в ответ. Именно это отличает задачу от подсчёта «ровно одного» события.

При сложении P(A)+P(B) каждый исход из общей части A∩B учитывается дважды. Чтобы оставить его один раз, вероятность пересечения вычитают: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Вывод не предполагает, что события независимы; он основан на разбиении пространства на непересекающиеся части.

Если события несовместны, пересечение пусто и формула упрощается до суммы P(A)+P(B). Независимость означает другое: P(A∩B)=P(A)P(B). Независимые события с положительными вероятностями могут происходить одновременно и не являются несовместными. Поэтому выбор между нулём и произведением для пересечения зависит от условий задачи.

Формула также позволяет найти пересечение по известным отдельным вероятностям и вероятности объединения. Полезные проверки согласованности: P(A∩B)≤min(P(A),P(B)), а P(A∪B) должно быть не меньше каждой отдельной вероятности и не больше единицы. Если эти условия нарушаются, исходные данные противоречивы.

Для «ровно одного события» общую часть исключают из каждого события: P(A)+P(B)−2P(A∩B). Это другая величина. Чтобы найти вероятность отсутствия обоих событий, используют дополнение 1−P(A∪B).

Как пользоваться формулой

  1. Определите события A и B и убедитесь, что вопрос касается хотя бы одного события, включая их совместное наступление.
  2. Запишите P(A), P(B) и вероятность пересечения в долях от одной и той же совокупности или модели.
  3. Проверьте, что пересечение не превосходит меньшей из двух вероятностей и что исходные данные совместимы.
  4. Сложите отдельные вероятности и вычтите вероятность пересечения один раз, чтобы убрать двойной счёт.
  5. Убедитесь, что результат не меньше каждой отдельной вероятности и не больше единицы; затем переведите его в проценты.

Историческая справка

Раннее развитие вероятностного расчёта связано с задачами игр: в 1657 году Христиан Гюйгенс опубликовал трактат о математических рассуждениях в азартных играх. Его предметом были игровые расчёты, а современная запись объединения событий возникла в более поздней математической традиции.

В 1933 году Андрей Колмогоров изложил аксиоматическую теорию вероятностей, основанную на событиях и аддитивности вероятностной меры. Исторический обзор его работы описывает использование языка теории меры и аксиому счётной аддитивности для непересекающихся событий.

Современное правило для пересекающихся событий получают разбиением на непересекающиеся части: сначала используют аддитивность, затем исправляют двойной счёт общей части. Учебное изложение OpenStax отдельно приводит случай несовместных событий и общее правило сложения. Приписывать отдельную современную запись одному автору на основании общей истории теории не требуется.

Историческая линия формулы

Правило сложения относится к общей традиции расчёта вероятностей и следует из аддитивности для непересекающихся событий. Аксиоматическая монография Колмогорова 1933 года закрепила формальную основу; конкретную современную запись не следует без источника считать открытием единственного автора.

Пример

Из 100 случайно выбранных покупателей 45 приобрели товар A, 35 — товар B, а 15 приобрели оба товара. Какова вероятность, что случайно выбранный покупатель купил хотя бы один из двух товаров? P(A)=45/100=0,45; P(B)=35/100=0,35; P(A∩B)=15/100=0,15. По правилу сложения P(A∪B)=0,45+0,35−0,15=0,65, или 65%. Численно это 45+35−15=65 покупателей из 100. Проверка: 65% больше каждой отдельной доли и меньше 100%. Если бы общую группу не вычли, её 15 человек были бы учтены дважды. Вероятность того, что не куплен ни A, ни B, составляет 1−0,65=0,35, то есть 35%.

Частая ошибка

Не складывайте вероятности без вычитания пересечения, если события совместны. Не считайте независимость и несовместность синонимами: при независимости пересечение обычно положительно. Не вычитайте пересечение дважды для вопроса «хотя бы одно»: двойное вычитание нужно для «ровно одного». Проверяйте согласованность процентов.

Практика

Задачи с решением

Ровно одно событие

Условие. P(A)=0,5, P(B)=0,4, P(A∩B)=0,2. Найдите вероятность ровно одного из событий.

Решение. P(ровно одно)=0,5+0,4−2·0,2=0,5.

Ответ. 0,5.

Пересечение

Условие. P(A)=0,6, P(B)=0,5 и P(A∪B)=0,8. Найдите P(A∩B).

Решение. Переносим слагаемые: P(A∩B)=0,6+0,5−0,8=0,3.

Ответ. 0,3.

Дополнительные источники

  • https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/3-formula-review
  • https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/LMS/kolmogorov_lms_obit.pdf
  • https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miscellaneous/messages/04-27/

Связанные формулы

Математика

Условная вероятность события при известном условии

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0$

Условная вероятность P(A|B) показывает вероятность события A в ситуации, когда известно наступление B. Она равна вероятности совместного наступления A и B, делённой на вероятность условия B, если последняя положительна.

Математика

Формула полной вероятности

$P(A)=\sum_iP(H_i)P(A\mid H_i)$

Формула «Формула полной вероятности» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Формула Байеса для условных вероятностей

$P(H_k\mid A)=\frac{P(H_k)P(A\mid H_k)}{\sum_iP(H_i)P(A\mid H_i)}$

Формула «Формула Байеса для условных вероятностей» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.