Физика / Электричество

Спад поля в прямоугольном волноводе ниже отсечки

Ниже отсечки выделенная мода экспоненциально убывает вглубь канала. Показатель зависит от частоты и отсечки, а увеличение длины усиливает спад амплитуды.

Опубликовано: 10 ноября 2026 г.Обновлено: 10 ноября 2026 г.

Формула

\frac{|E(z)|}{|E(0)|}=\exp\!\left[-\frac{2\pi z}{v}\sqrt{f_c^2-f^2}\right]

Схема Проникновение убывающей моды в канал

Для 3 ГГц при отсечке 5 ГГц спад сильнее, чем для 4,8 ГГц при той же отсечке.

Обозначения

$|E(z)|$: амплитуда компоненты электрического поля на глубине z, В/м
$|E(0)|$: амплитуда той же компоненты у начала отсчёта, В/м
$z$: расстояние по оси, м
$v$: скорость плоской волны в заполнителе, м/с
$f_c$: частота отсечки рассматриваемой моды, Гц
$f$: частота возбуждения, Гц

Условия применения

Рассматривается убывающее решение для отдельной моды в однородном прямом канале при 0<f<f_c. Отношение берётся для одной и той же ненулевой компоненты в одинаковых поперечных точках. Идеальные стенки и заполнитель не рассеивают энергию.

Ограничения

В конечной вставке поле может содержать второй экспоненциальный член из-за условий на дальнем конце. Для полного коэффициента передачи нужно учесть оба перехода и возможное возбуждение других мод. Ослабление убывающей амплитуды не означает выделения тепла в стенках.

Подробное объяснение

Выше отсечки осевое волновое число действительно, а фаза бегущей моды меняется с координатой. Ниже отсечки квадрат этого числа отрицателен. Вместо синусоидального изменения вдоль оси получается пара экспонент, одна из которых убывает вглубь канала.

Для канала, продолжающегося в положительном направлении без границы, растущий член пришлось бы исключить, иначе поле не было бы ограничено. Положительный коэффициент спада α равен 2π√(f_c²−f²)/v. Его обратная величина показывает длину, после которой амплитуда становится меньше в e раз.

Вблизи отсечки снизу α становится малым, поэтому поле проникает дальше. При низкой частоте α приближается к 2πf_c/v. Для TE₁₀ в прямоугольнике это π/a. Увеличение длины на постоянное расстояние каждый раз умножает амплитуду на один и тот же коэффициент.

Ослабление убывающей компоненты в децибелах получается как 20·lg(|E(0)|/|E(z)|)=20αz/ln(10). Для связи с измеряемым коэффициентом передачи короткой вставки дополнительно нужна модель стыков. Спад по координате существует и у канала с идеально проводящими стенками.

Как пользоваться формулой

Определите отсечку выбранной моды в однородном канале и убедитесь, что частота возбуждения меньше неё.
В одинаковых частотных единицах найдите √(f_c²−f²). Для скорости в метрах в секунду берите частоты в герцах.
Умножьте результат на 2π и разделите на скорость заполнителя. Коэффициент α получится в обратных метрах.
Умножьте α на глубину в метрах и подставьте результат со знаком минус в показатель экспоненты.
Если нужны децибелы ослабления амплитуды, умножьте αz на 20/ln(10), не добавляя потери стыков.

Историческая справка

В ранней задаче Рэлея о волнах в проводящих трубах распространение зависело от поперечной геометрии и частоты. Математически различие между бегущим и затухающим решением видно по знаку квадрата осевого числа. Такое описание объясняет, почему часть спектра возбуждения не идёт вдоль идеального канала как бегущая мода.

В XX веке спад поля ниже отсечки применили и для воспроизводимого ослабления. Обзор Национального бюро стандартов США по измерениям микроволнового ослабления приводит работы о волноводных эталонах ниже отсечки, в том числе доклад Зоргера 1964 года. Метрологическая задача добавляет к расчёту моды описание реальных переходов и калибровку.

Историческая линия формулы

Расчёт спада получается из осевого решения волнового уравнения при отрицательном квадрате продольного числа. Историю теории труб иллюстрирует статья Рэлея 1897 года. Применение канала ниже отсечки в измерительных аттенюаторах относится к более поздней микроволновой метрологии.

Пример

Пусть отсечка TE₁₀ воздушного канала равна 5 ГГц, а возбуждение идёт на 3 ГГц. Оценим долю убывающей амплитуды на глубине 30 мм при v≈3,00·10⁸ м/с. Разность квадратов частот даёт √(25−9)=4 ГГц. Коэффициент α=2π·4·10⁹/(3·10⁸)≈83,78 м⁻¹. На 0,030 м показатель αz≈2,513, поэтому |E(z)|/|E(0)|≈0,0810, а ослабление равно примерно 21,83 дБ. Показатель безразмерен, поскольку α измеряется в м⁻¹, а глубина в метрах. На удвоенной глубине коэффициент амплитуды станет квадратом 0,0810, а число децибел удвоится.

Частая ошибка

Под корнем вычитайте квадрат рабочей частоты из квадрата отсечки. Берите 20 lg для отношения амплитуд. Ошибка в переводе миллиметров меняет показатель в тысячу раз. Не выдавайте расчёт одной убывающей компоненты за измеренное ослабление сборки с двумя стыками.

Практика

Задачи с решением

Две глубины

Условие. Во сколько раз меняется амплитуда при переходе с 30 до 60 мм в канале примера?

Решение. Дополнительная длина снова равна 30 мм, поэтому добавляется тот же показатель −2,513. Отношение равно exp(−2,513).

Ответ. На 60 мм амплитуда составляет около 0,081 от значения на 30 мм.

Требуемое ослабление

Условие. Найдите глубину для спада амплитуды на 40 дБ при α=80 м⁻¹.

Решение. 40 дБ соответствует отношению исходной амплитуды к конечной 100. Тогда z=ln(100)/80≈0,05756 м.

Ответ. 57,56 мм.

Дополнительные источники

https://zenodo.org/records/1431225
https://eng.libretexts.org/Bookshelves/Electrical_Engineering/Electronics/Microwave_and_RF_Design_II_-_Transmission_Lines_(Steer)/06:_Waveguides/6.04:_Rectangular_Waveguide
https://www.govinfo.gov/content/pkg/GOVPUB-C13-2c1b7dcb4f3afea89fe115069a7ff818/pdf/GOVPUB-C13-2c1b7dcb4f3afea89fe115069a7ff818.pdf

Связанные формулы

Физика

Длина волны моды TE₁₀ в прямоугольном волноводе

$\lambda_g=\frac{v}{\sqrt{f^2-(v/2a)^2}}$

Формула даёт расстояние между соседними одинаковыми фазами вдоль прямоугольного волновода. Для моды TE₁₀ оно зависит от частоты, ширины канала и скорости волны в заполнителе.

Физика

Одномодовый диапазон прямоугольного волновода

$\frac{v}{2a}< f < \min\!\left(\frac{v}{a},\frac{v}{2b}\right)$

При частоте внутри этого интервала волновод с прямоугольным сечением поддерживает одну бегущую моду TE₁₀. Верхний предел задаёт более низкая из отсечек TE₂₀ и TE₀₁.

Физика

Волновое сопротивление TE-моды выше отсечки

$Z_{\mathrm{TE}}=\frac{\eta}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}},\qquad \eta=\sqrt{\mu/\varepsilon}$

У бегущей TE-моды отношение поперечных электрического и магнитного полей больше волнового сопротивления заполнителя. Значение зависит от близости к частоте отсечки.