Физика / Электричество

Одномодовый диапазон прямоугольного волновода

При частоте внутри этого интервала волновод с прямоугольным сечением поддерживает одну бегущую моду TE₁₀. Верхний предел задаёт более низкая из отсечек TE₂₀ и TE₀₁.

Опубликовано: 10 ноября 2026 г.Обновлено: 10 ноября 2026 г.

Формула

\frac{v}{2a}< f < \min\!\left(\frac{v}{a},\frac{v}{2b}\right)

Схема Верхняя граница при изменении высоты

При b/a≤0,5 границу задаёт TE₂₀. При большей высоте она следует за отсечкой TE₀₁.

Обозначения

$f$: рабочая частота, Гц
$v$: скорость плоской волны в однородном заполнителе, м/с
$a$: большая внутренняя сторона сечения, м
$b$: меньшая внутренняя сторона сечения, м

Условия применения

Канал прямой, полый либо целиком заполненный однородным недиспергирующим материалом. Стенки в расчёте идеально проводят, a>b>0. Отсечки исключены из интервала, чтобы на его концах не считать предельные решения бегущими модами.

Ограничения

Формула определяет теоретическое окно. Практическую полосу сужают запасом от отсечек, поскольку вблизи нижней растёт дисперсия, а вблизи верхней неоднородности канала заметно возбуждают затухающие поля следующей моды. Согласование переходов проверяют отдельно.

Подробное объяснение

Частоты отсечки вычисляются из дискретного поперечного профиля. Для моды с индексами m и n частота равна (v/2)√((m/a)²+(n/b)²). У TE допускается один нулевой индекс, у TM оба индекса должны быть положительными. Из-за a>b наименьшая отсечка у TE₁₀.

После TE₁₀ нужно сравнить TE₂₀ и TE₀₁. У мод с двумя положительными индексами отсечка выше отсечки TE₀₁, потому что к (1/b)² прибавляется положительный член. У мод с одним нулевым индексом дальнейшее увеличение другого индекса только повышает частоту. Поэтому третья формула для верхней границы не нужна.

Если a>2b, раньше появляется TE₂₀. Если a<2b, раньше появляется TE₀₁. При a=2b обе отсечки совпадают. Сужение канала по b ниже a/2 больше не поднимает верхнюю границу, потому что её уже ограничивает TE₂₀, зависящая только от a.

Одномодовость относится к полям, способным идти по длинному однородному участку. Вблизи фланца, зонда или резкого поворота могут существовать затухающие моды. Для квадратного канала два основных режима имеют одинаковую отсечку, и интервала с одной возможной бегущей модой этой формулы нет.

Как пользоваться формулой

Запишите внутренние размеры прямоугольного сечения в метрах и назначьте большей стороне обозначение a.
Возьмите скорость волны в материале заполнения и рассчитайте нижнюю отсечку TE₁₀ делением v на 2a.
Отдельно вычислите v/a для TE₂₀ и v/(2b) для TE₀₁. Выберите меньшее число как верхнюю отсечку.
Сравните весь рабочий диапазон с открытым интервалом. При выборе реального канала оставьте запас от обоих концов.

Историческая справка

В работе 1897 года о прохождении электрических волн через трубы Рэлей поставил задачу о допустимых полях внутри заданной границы. Для прямоугольника одна и та же частота допускает разные поперечные профили, но для каждого профиля надо выполнить свои граничные условия. Тем самым задача о распространении сводится к сравнению нескольких порогов.

В учебнике Хауса и Мелчера зависимость порогов от отношения сторон показана на диаграмме низших прямоугольных мод. Для выбора одномодового режима существенны две линии над отсечкой TE₁₀. Их пересечение при a=2b объясняет, почему уменьшение высоты дальше этой точки уже не меняет теоретический диапазон частот.

Историческая линия формулы

Рэлей связан с ранним теоретическим исследованием волн в трубах. Окно между двумя низшими отсечками получается из современной классификации прямоугольных TE- и TM-мод. Оно вычисляется по геометрии канала, а требуемые запасы на практике определяются назначением устройства.

Пример

Прямой воздушный канал имеет размеры 30×20 мм. Найдём интервал частот, в котором может идти только TE₁₀, и проверим полосу от 6 до 8 ГГц. При v≈3,00·10⁸ м/с отсечка TE₁₀ равна 3,00·10⁸/(2·0,030)=5,00 ГГц. Для TE₂₀ получаем 10,00 ГГц, для TE₀₁ получаем 7,50 ГГц. Меньшая из двух верхних отсечек равна 7,50 ГГц, поэтому теоретическая полоса составляет 5,00<f<7,50 ГГц. Частота 6 ГГц внутри окна, но при 8 ГГц может распространяться TE₀₁. Размерность всех границ равна (м/с)/м=Гц. Верхняя граница ниже 10 ГГц, потому что высота больше половины ширины.

Частая ошибка

Не принимайте 2f_c за верхнюю границу без проверки высоты. При размерах из примера TE₀₁ идёт раньше TE₂₀. Используйте внутренние размеры сечения. Формула для прямоугольника не переносится на круглый канал, где поперечные числа определяются другим уравнением. На самой отсечке не считайте моду бегущей.

Практика

Задачи с решением

Уменьшение высоты

Условие. В воздушном канале a=30 мм, b=10 мм. Найдите верхнюю отсечку.

Решение. Сравниваем 3·10⁸/0,030=10 ГГц и 3·10⁸/0,020=15 ГГц. Первой становится TE₂₀.

Ответ. 10 ГГц.

Подбор высоты

Условие. При a=30 мм нужна одномодовость на 9 ГГц. Какое неравенство должна выполнять высота?

Решение. Нижняя отсечка 5 ГГц, TE₂₀ отсекается при 10 ГГц. Для TE₀₁ требуем 3·10⁸/(2b)>9·10⁹.

Ответ. 0<b<16,67 мм, с точной верхней границей 50/3 мм.

Дополнительные источники

https://zenodo.org/records/1431225
https://web.mit.edu/course/6/6.013_book/www/chapter13/13.4.html
https://eng.libretexts.org/Bookshelves/Electrical_Engineering/Electronics/Microwave_and_RF_Design_II_-_Transmission_Lines_(Steer)/06:_Waveguides/6.04:_Rectangular_Waveguide

Связанные формулы

Физика

Длина волны моды TE₁₀ в прямоугольном волноводе

$\lambda_g=\frac{v}{\sqrt{f^2-(v/2a)^2}}$

Формула даёт расстояние между соседними одинаковыми фазами вдоль прямоугольного волновода. Для моды TE₁₀ оно зависит от частоты, ширины канала и скорости волны в заполнителе.

Физика

Волновое сопротивление TE-моды выше отсечки

$Z_{\mathrm{TE}}=\frac{\eta}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}},\qquad \eta=\sqrt{\mu/\varepsilon}$

У бегущей TE-моды отношение поперечных электрического и магнитного полей больше волнового сопротивления заполнителя. Значение зависит от близости к частоте отсечки.

Физика

Спад поля в прямоугольном волноводе ниже отсечки

$\frac{|E(z)|}{|E(0)|}=\exp\!\left[-\frac{2\pi z}{v}\sqrt{f_c^2-f^2}\right]$

Ниже отсечки выделенная мода экспоненциально убывает вглубь канала. Показатель зависит от частоты и отсечки, а увеличение длины усиливает спад амплитуды.

Физика

Скорость и задержка волны в линии через L′ и C′

$v=\frac1{\sqrt{L'C'}},\qquad t_d=\ell\sqrt{L'C'}$

Скорость распространения волны в идеальной линии определяется произведением погонных индуктивности и ёмкости. Задержка прохождения отрезка равна его длине, делённой на эту скорость; она важна даже у кабеля без потерь.