Физика / Электричество

Волновое сопротивление TE-моды выше отсечки

У бегущей TE-моды отношение поперечных электрического и магнитного полей больше волнового сопротивления заполнителя. Значение зависит от близости к частоте отсечки.

Опубликовано: 10 ноября 2026 г.Обновлено: 10 ноября 2026 г.

Формула

Z_{\mathrm{TE}}=\frac{\eta}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}},\qquad \eta=\sqrt{\mu/\varepsilon}

Схема Отношение поперечных полей вдали от отсечки

Для воздуха Z_TE снижается с ростом частоты. При f=2f_c сопротивление около 435 Ом.

Обозначения

$Z_TE$: отношение поперечных амплитуд электрического и магнитного полей, Ом
$η$: волновое сопротивление однородного заполнителя, Ом
$μ$: абсолютная магнитная проницаемость, Гн/м
$ε$: абсолютная диэлектрическая проницаемость, Ф/м
$f_c$: отсечка выбранной моды, Гц
$f$: частота бегущей волны, Гц

Условия применения

Одна бегущая TE-мода идёт по однородному каналу без потерь при f>f_c. Проницаемости берутся для заполнителя при рабочей частоте. Отношение относится к поперечным компонентам в соответствующих направлениях.

Ограничения

Нельзя делить полный модуль E на полный модуль H: у TE-моды есть продольное магнитное поле. При наличии встречной волны локальное отношение поперечных полей меняется по длине. На отсечке выражение для вещественного сопротивления бегущей волны неприменимо.

Подробное объяснение

У TE-моды продольной электрической компоненты нет. Поперечное магнитное поле связано с производной поперечного электрического поля вдоль оси. При гармонической зависимости поля от координаты эта производная вносит осевое волновое число β.

Из закона Фарадея для амплитуд получаем H_t=βE_t/(ωμ), где ω=2πf. При делении E_t на H_t получается ωμ/β. В однородном канале β=(ω/v)√(1−(f_c/f)²), а μv=√(μ/ε). Так получается выражение через свойства заполнителя и отсечку.

При приближении к отсечке сверху β уменьшается. Для заданной поперечной амплитуды E_t сопутствующая H_t становится меньше, а отношение полей возрастает. На высокой частоте корень приближается к единице, поэтому отношение сходится к η. У TM-моды зависимость от того же корня обратная.

Это сопротивление имеет размерность омов, но описывает поля. В модели волноводного порта можно ввести эквивалентные напряжение и ток по выбранной нормировке. Для подключения реальной нагрузки одной цифры недостаточно: форма перехода влияет на отражение и возбуждение других мод.

Как пользоваться формулой

Выберите распространяющуюся TE-моду и рассчитайте её частоту отсечки из размеров канала и свойств заполнителя.
Убедитесь, что рабочая частота больше отсечки, и приведите обе частоты к одной единице измерения.
Вычислите сопротивление заполнителя из абсолютных μ и ε либо возьмите известное значение для воздуха.
Найдите корень из 1−(f_c/f)² и разделите на него η. Для расчёта H_t разделите амплитуду E_t на результат.

Историческая справка

После ранних работ о распространении волн в трубах теория микроволновых трактов стала описывать волновод через характеристики отдельных мод. Одной отсечки было недостаточно для расчёта полей: приходилось определять также их ориентацию и отношение амплитуд. В волноводе разные профили могут иметь разные осевые числа при одной частоте.

В курсе Майкла Стира по микроволновым линиям изложение прямоугольного канала соединяет полевую картину TE₁₀ с понятием модового сопротивления. Это позволяет отличить сопротивление распространяющейся моды от сопротивления плоской волны заполнителя и проследить роль продольного волнового числа. В вычислении Z_TE используется именно отношение поперечных полей.

Историческая линия формулы

Формула следует из уравнения Максвелла — Фарадея для выбранной TE-моды и соотношения между осевым волновым числом и частотой. Теория волн в трубах восходит к исследованиям XIX века. Современное инженерное определение сопротивления закрепляет, какие компоненты поля сравниваются.

Пример

В воздушном волноводе бегущая TE-мода имеет отсечку 6 ГГц и работает при 10 ГГц. Примем η≈377 Ом и найдём сопротивление моды, а затем H_t для E_t=80 В/м. Под корнем получаем 1−(6/10)²=0,64, корень равен 0,8. Тогда Z_TE=377/0,8=471,25 Ом. В выбранной точке H_t=80/471,25≈0,170 А/м. При проверке единиц (В/м)/(В/А)=А/м. Результат для сопротивления выше 377 Ом, что согласуется с β ниже волнового числа плоской волны. Поперечное магнитное поле слабее, чем при той же амплитуде электрического поля в свободной плоской волне.

Частая ошибка

Отношение частот берите как f_c/f. Перестановка числителя и знаменателя даёт отрицательное подкоренное выражение. Для TE сопротивление получают делением на корень. Магнитную амплитуду вычисляйте по поперечной компоненте и в той же точке, где задано E_t. Наличие отражения требует разложения на бегущие волны.

Практика

Задачи с решением

Частота вдвое выше отсечки

Условие. Для η=377 Ом найдите Z_TE при f=2f_c.

Решение. Под корнем остаётся 3/4. Делим 377 на √3/2.

Ответ. Около 435,32 Ом.

Сопротивление вдвое больше η

Условие. Найдите f/f_c, при котором Z_TE=2η.

Решение. Корень равен 1/2, следовательно (f_c/f)²=3/4. Обращаем положительный корень.

Ответ. f/f_c=2/√3≈1,155.

Дополнительные источники

https://web.mit.edu/course/6/6.013_book/www/chapter13/13.4.html
https://eng.libretexts.org/Bookshelves/Electrical_Engineering/Electronics/Microwave_and_RF_Design_II_-_Transmission_Lines_(Steer)/06:_Waveguides/6.04:_Rectangular_Waveguide
https://zenodo.org/records/1431225

Связанные формулы

Физика

Длина волны моды TE₁₀ в прямоугольном волноводе

$\lambda_g=\frac{v}{\sqrt{f^2-(v/2a)^2}}$

Формула даёт расстояние между соседними одинаковыми фазами вдоль прямоугольного волновода. Для моды TE₁₀ оно зависит от частоты, ширины канала и скорости волны в заполнителе.

Физика

Одномодовый диапазон прямоугольного волновода

$\frac{v}{2a}< f < \min\!\left(\frac{v}{a},\frac{v}{2b}\right)$

При частоте внутри этого интервала волновод с прямоугольным сечением поддерживает одну бегущую моду TE₁₀. Верхний предел задаёт более низкая из отсечек TE₂₀ и TE₀₁.

Физика

Спад поля в прямоугольном волноводе ниже отсечки

$\frac{|E(z)|}{|E(0)|}=\exp\!\left[-\frac{2\pi z}{v}\sqrt{f_c^2-f^2}\right]$

Ниже отсечки выделенная мода экспоненциально убывает вглубь канала. Показатель зависит от частоты и отсечки, а увеличение длины усиливает спад амплитуды.

Физика

Волновое сопротивление линии через погонные L и C

$Z_0=\sqrt{\frac{L'}{C'}}$

Волновое сопротивление идеальной линии — отношение напряжения к току одной бегущей волны. Оно определяется погонными индуктивностью и ёмкостью, а не сопротивлением проводника постоянному току или общей длиной кабеля.