Физика / Электричество

Длина волны моды TE₁₀ в прямоугольном волноводе

Формула даёт расстояние между соседними одинаковыми фазами вдоль прямоугольного волновода. Для моды TE₁₀ оно зависит от частоты, ширины канала и скорости волны в заполнителе.

Опубликовано: 10 ноября 2026 г.Обновлено: 10 ноября 2026 г.

Формула

\lambda_g=\frac{v}{\sqrt{f^2-(v/2a)^2}}

Схема Как направляемая длина волны приближается к обычной

При удалении от отсечки отношение осевой длины к длине волны в заполнителе приближается к единице.

Обозначения

$λ_g$: длина волны вдоль оси волновода, м
$v$: скорость плоской волны в однородном заполнителе, м/с
$f$: частота колебаний, Гц
$a$: внутренняя ширина большей стороны сечения, м

Условия применения

Прямой канал имеет постоянное прямоугольное сечение, идеально проводящие стенки и однородное заполнение без потерь. Рассматривается отдельная бегущая мода TE₁₀ на частоте строго выше её отсечки v/(2a).

Ограничения

При f≤v/(2a) бегущая мода TE₁₀ не описывается вещественной направляемой длиной волны. Выше отсечки следующей моды формула по-прежнему относится к TE₁₀, но поле на выходе может быть суммой нескольких мод с разными фазовыми постоянными.

Подробное объяснение

Два сечения на расстоянии λ_g друг от друга имеют одну и ту же фазу бегущей моды. Фаза меняется вдоль оси медленнее в пересчёте на единицу длины, чем у плоской волны той же частоты в материале заполнителя.

У проводящей стенки касательная электрическая составляющая обращается в ноль. Для TE₁₀ по ширине помещается одна полуволна поперечного профиля. Поэтому поперечное волновое число равно π/a, а по меньшей стороне профиль постоянен. Сумма квадратов осевого и поперечного волновых чисел равна (2πf/v)².

Из этого равенства β²=(2πf/v)²−(π/a)², где β измеряется в радианах на метр. При переходе от β к длине волны используем λ_g=2π/β. На отсечке β стремится к нулю, а расстояние, необходимое для набега фазы на полный оборот, растёт без ограничения.

При f=2f_c отношение λ_g к длине волны в заполнителе составляет 2/√3. При дальнейшем увеличении частоты отношение приближается к единице. Для расчёта фазы на линии берут длину вдоль оси и умножают её на 360°/λ_g. В области нескольких мод эту операцию выполняют отдельно для каждой моды.

Как пользоваться формулой

Измерьте внутреннюю ширину канала между боковыми стенками в направлении изменения поля TE₁₀.
Для однородного заполнения определите скорость плоской волны на рабочей частоте и выразите её в метрах в секунду.
Вычислите частоту отсечки v/(2a) и сравните с рабочей частотой, записав обе частоты в герцах.
Вычтите квадрат частоты отсечки из квадрата рабочей частоты, извлеките корень и разделите скорость на результат.
Для расчёта фазового сдвига разделите осевую длину участка на λ_g и умножьте полученное число на 360°.

Историческая справка

В конце XIX века исследование волн в проводящих трубах потребовало учитывать форму границы. В 1897 году Рэлей исследовал, при каких условиях электрические волны могут распространяться в трубах. В постановке с проводящей границей геометрия трубы участвует в выборе допустимых полей, поэтому одного свойства заполнителя для расчёта осевого периода недостаточно.

В изложении Хауса и Мелчера для прямоугольного канала решение разделяется на поперечные координаты и продольную координату. Условие на проводящих стенках определяет дискретные поперечные числа. Современная запись через осевое волновое число удобна тем, что фазовый сдвиг на заданной длине можно вычислить сразу, а переход от осевого числа к λ_g остаётся обычным определением периода по координате.

Историческая линия формулы

Работа Рэлея относится к ранней теории распространения электрических волн в трубах. Приведённая формула следует из дисперсионного соотношения для доминирующей прямоугольной моды и определения осевой длины волны. Обозначения соответствуют современному разделению поля на TE- и TM-моды.

Пример

В модели воздушного прямоугольного канала шириной 30 мм работает мода TE₁₀ на частоте 13 ГГц. Найдём её осевую длину волны и набег фазы на 6,25 мм. Скорость округлим до 3,00·10⁸ м/с. После перевода a=0,030 м отсечка f_c=3,00·10⁸/(2·0,030)=5,00·10⁹ Гц. Частотный знаменатель равен √(13²−5²)·10⁹=12·10⁹ Гц. Деление даёт λ_g=0,025 м, то есть 25 мм. Участок 6,25 мм равен четверти этого расстояния, поэтому модуль набега фазы составляет 90°. В знаменателе стоят герцы, так что после деления м/с на с⁻¹ остаются метры. Плоская волна в заполнителе имеет длину около 23,08 мм. Она короче осевой длины, как и следует из положительного поперечного волнового числа.

Частая ошибка

Ширину канала берите по внутренним поверхностям стенок: внешняя ширина завышает a и занижает отсечку. Частоты подставляйте в одинаковых единицах. Разность квадратов f²−f_c² отличается от квадрата разности (f−f_c)². При наличии отражения локальное поле включает встречную волну, поэтому расстояние между соседними максимумами стоячей картины составляет λ_g/2.

Практика

Задачи с решением

Фаза на отрезке

Условие. При тех же 30 мм и 13 ГГц найдите модуль набега фазы на длине 10 мм.

Решение. Осевой период 25 мм. Доля периода равна 10/25=0,4. Умножаем на 360°.

Ответ. 144°.

Частота для заданной длины

Условие. Ширина воздушного канала 30 мм. При какой частоте λ_g=37,5 мм, если v=3,00·10⁸ м/с?

Решение. Осевое пространственное число в циклах на метр равно 1/λ_g. Умножение на v даёт 8 ГГц. Складываем квадраты 8 и 5 и извлекаем корень.

Ответ. √89 ГГц ≈ 9,434 ГГц.

Дополнительные источники

https://web.mit.edu/course/6/6.013_book/www/chapter13/13.4.html
https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Electricity_and_Magnetism/Electromagnetics_II_%28Ellingson%29/06%3A_Waveguides/6.10%3A_Rectangular_Waveguide-_Propagation_Characteristics
https://zenodo.org/records/1431225

Связанные формулы

Физика

Одномодовый диапазон прямоугольного волновода

$\frac{v}{2a}< f < \min\!\left(\frac{v}{a},\frac{v}{2b}\right)$

При частоте внутри этого интервала волновод с прямоугольным сечением поддерживает одну бегущую моду TE₁₀. Верхний предел задаёт более низкая из отсечек TE₂₀ и TE₀₁.

Физика

Волновое сопротивление TE-моды выше отсечки

$Z_{\mathrm{TE}}=\frac{\eta}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}},\qquad \eta=\sqrt{\mu/\varepsilon}$

У бегущей TE-моды отношение поперечных электрического и магнитного полей больше волнового сопротивления заполнителя. Значение зависит от близости к частоте отсечки.

Физика

Спад поля в прямоугольном волноводе ниже отсечки

$\frac{|E(z)|}{|E(0)|}=\exp\!\left[-\frac{2\pi z}{v}\sqrt{f_c^2-f^2}\right]$

Ниже отсечки выделенная мода экспоненциально убывает вглубь канала. Показатель зависит от частоты и отсечки, а увеличение длины усиливает спад амплитуды.

Физика

Длина волны

$\lambda=\frac{v}{\nu}$

Длина волны равна скорости распространения, деленной на частоту. Это пространственный период волны: расстояние между соседними гребнями или одинаковыми фазовыми точками.

Физика

Скорость и задержка волны в линии через L′ и C′

$v=\frac1{\sqrt{L'C'}},\qquad t_d=\ell\sqrt{L'C'}$

Скорость распространения волны в идеальной линии определяется произведением погонных индуктивности и ёмкости. Задержка прохождения отрезка равна его длине, делённой на эту скорость; она важна даже у кабеля без потерь.

Физика

Волновое сопротивление линии через погонные L и C

$Z_0=\sqrt{\frac{L'}{C'}}$

Волновое сопротивление идеальной линии — отношение напряжения к току одной бегущей волны. Оно определяется погонными индуктивностью и ёмкостью, а не сопротивлением проводника постоянному току или общей длиной кабеля.